В треугольнике с вершинами А(-3;2), В(2;-2) и С(0;4) как можно вычислить косинус всех углов?

Математика 10 класс Косинусы углов треугольника треугольник вершины косинус углов вычисление математика координаты Новый

Для нахождения косинусов углов треугольника с заданными вершинами, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Сначала найдем длины всех сторон треугольника, а затем применим теорему косинусов для вычисления косинусов углов.

Шаг 1: Вычисление длин сторон треугольника.

Длину стороны треугольника можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

• Сторона AB:

AB = √((2 - (-3))² + (-2 - 2)²) = √((2 + 3)² + (-4)²) = √(5² + (-4)²) = √(25 + 16) = √41.

• Сторона BC:

BC = √((0 - 2)² + (4 - (-2))²) = √((-2)² + (4 + 2)²) = √(4 + 6²) = √(4 + 36) = √40.

• Сторона AC:

AC = √((0 - (-3))² + (4 - 2)²) = √((3)² + (2)²) = √(9 + 4) = √13.

Теперь у нас есть длины сторон:

• AB = √41
• BC = √40
• AC = √13

Шаг 2: Применение теоремы косинусов.

Теорема косинусов гласит, что для треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C выполняются следующие соотношения:

• cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)
• cos B = (a² + c² - b²) / (2ac)
• cos C = (a² + b² - c²) / (2ab)

Где:

• a = BC = √40
• b = AC = √13
• c = AB = √41

Теперь подставим значения в формулы:

• cos A = (b² + c² - a²) / (2bc) = (√13² + √41² - √40²) / (2 * √13 * √41) = (13 + 41 - 40) / (2 * √13 * √41) = 14 / (2 * √13 * √41) = 7 / (√13 * √41).
• cos B = (a² + c² - b²) / (2ac) = (√40² + √41² - √13²) / (2 * √40 * √41) = (40 + 41 - 13) / (2 * √40 * √41) = 68 / (2 * √40 * √41) = 34 / (√40 * √41).
• cos C = (a² + b² - c²) / (2ab) = (√40² + √13² - √41²) / (2 * √40 * √13) = (40 + 13 - 41) / (2 * √40 * √13) = 12 / (2 * √40 * √13) = 6 / (√40 * √13).

Итак, мы нашли косинусы углов треугольника:

• cos A = 7 / (√13 * √41)
• cos B = 34 / (√40 * √41)
• cos C = 6 / (√40 * √13)

Теперь вы можете вычислить численные значения косинусов, если это необходимо.