Как найти расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС, если известны длины отрезков КА=13 см, АС=5 см, а угол ВАС равен 60º? В треугольнике АВС угол С является прямым.

Математика 10 класс Геометрия треугольников расстояние от точки до плоскости треугольник АВС длины отрезков угол ВАС прямой угол задача по математике геометрия формулы для нахождения расстояния свойства треугольника Новый

Чтобы найти расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС, давайте сначала разберемся с треугольником АВС, так как он имеет прямой угол в точке С.

1. **Построение треугольника**: У нас есть треугольник АВС, где угол С является прямым. Это значит, что стороны АС и СВ перпендикулярны друг другу. Из условия мы знаем, что:

• КА = 13 см
• АС = 5 см
• Угол ВАС = 60º

2. **Нахождение стороны АВ**: Поскольку угол ВАС равен 60º, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны АВ. Мы знаем, что:

• АС = 5 см (противолежащая сторона)
• АВ = ? (гипотенуза)

Используем синус угла:

sin(60º) = противолежащая сторона / гипотенуза

sin(60º) = АС / АВ

sin(60º) = 5 / АВ

Теперь подставим значение sin(60º) = √3/2:

√3/2 = 5 / АВ

Решим это уравнение для АВ:

АВ = 5 / (√3/2) = 10 / √3 ≈ 5.77 см

3. **Нахождение стороны СВ**: Так как треугольник АВС является прямоугольным, можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны СВ:

АВ² = АС² + СВ²

(10/√3)² = 5² + СВ²

100/3 = 25 + СВ²

СВ² = 100/3 - 25 = 100/3 - 75/3 = 25/3

СВ = √(25/3) = 5/√3 ≈ 2.89 см

4. **Нахождение расстояния от точки К до плоскости треугольника**: Теперь, чтобы найти расстояние от точки К до плоскости треугольника, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. В данном случае, поскольку у нас есть высота из точки К на плоскость треугольника, это будет расстояние от точки К до основания треугольника.

Мы знаем, что:

• Расстояние от точки К до плоскости треугольника = KA * sin(угол между KA и плоскостью)

5. **Нахождение угла между KA и плоскостью**: Угол между отрезком KA и плоскостью можно найти, используя угол ВАС, так как он равен 60º. Таким образом, угол между KA и плоскостью будет равен 90º - 60º = 30º.

6. **Расчет расстояния**: Теперь можем найти расстояние:

Расстояние = KA * sin(30º)

sin(30º) = 1/2, следовательно:

Расстояние = 13 см * 1/2 = 6.5 см

Таким образом, расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС равно 6.5 см.