Чтобы найти расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС, давайте сначала разберемся с треугольником АВС, так как он имеет прямой угол в точке С.

1. **Построение треугольника**: У нас есть треугольник АВС, где угол С является прямым. Это значит, что стороны АС и СВ перпендикулярны друг другу. Из условия мы знаем, что:

• КА = 13 см
• АС = 5 см
• Угол ВАС = 60º

2. **Нахождение стороны АВ**: Поскольку угол ВАС равен 60º, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения длины стороны АВ. Мы знаем, что:

• АС = 5 см (противолежащая сторона)
• АВ = ? (гипотенуза)

Используем синус угла:

sin(60º) = противолежащая сторона / гипотенуза

sin(60º) = АС / АВ

sin(60º) = 5 / АВ

Теперь подставим значение sin(60º) = √3/2:

√3/2 = 5 / АВ

Решим это уравнение для АВ:

АВ = 5 / (√3/2) = 10 / √3 ≈ 5.77 см

3. **Нахождение стороны СВ**: Так как треугольник АВС является прямоугольным, можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны СВ:

АВ² = АС² + СВ²

(10/√3)² = 5² + СВ²

100/3 = 25 + СВ²

СВ² = 100/3 - 25 = 100/3 - 75/3 = 25/3

СВ = √(25/3) = 5/√3 ≈ 2.89 см

4. **Нахождение расстояния от точки К до плоскости треугольника**: Теперь, чтобы найти расстояние от точки К до плоскости треугольника, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. В данном случае, поскольку у нас есть высота из точки К на плоскость треугольника, это будет расстояние от точки К до основания треугольника.

Мы знаем, что:

• Расстояние от точки К до плоскости треугольника = KA * sin(угол между KA и плоскостью)

5. **Нахождение угла между KA и плоскостью**: Угол между отрезком KA и плоскостью можно найти, используя угол ВАС, так как он равен 60º. Таким образом, угол между KA и плоскостью будет равен 90º - 60º = 30º.

6. **Расчет расстояния**: Теперь можем найти расстояние:

Расстояние = KA * sin(30º)

sin(30º) = 1/2, следовательно:

Расстояние = 13 см * 1/2 = 6.5 см

Таким образом, расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС равно 6.5 см.