Как относятся друг к другу прямые 40х - 9у + 15 = 0 и 5х + 12y + 15 = 0: являются ли они параллельными, совпадающими или пересекающимися? Если они пересекаются, то как найти точку пересечения и угол между этими прямыми?

Математика 10 класс Уравнения прямых и их свойства параллельные прямые совпадающие прямые пересекающиеся прямые угол между прямыми точка пересечения уравнения прямых геометрия система уравнений свойства прямых координатная плоскость Новый

Для того чтобы определить, как относятся друг к другу данные прямые, начнем с их приведения к общему виду. У нас есть две прямые:

• Первая прямая: 40x - 9y + 15 = 0
• Вторая прямая: 5x + 12y + 15 = 0

Сначала найдем угловые коэффициенты этих прямых, так как они помогут нам понять, являются ли прямые параллельными, совпадающими или пересекающимися.

1. Приведем первую прямую к виду y = kx + b:

1. 40x - 9y + 15 = 0
   Переносим 40x и 15:
   -9y = -40x - 15
   Делим на -9:
   y = (40/9)x + 15/9
   Угловой коэффициент k1 = 40/9.

2. Теперь сделаем то же самое со второй прямой:

1. 5x + 12y + 15 = 0
   Переносим 5x и 15:
   12y = -5x - 15
   Делим на 12:
   y = (-5/12)x - 15/12
   Угловой коэффициент k2 = -5/12.

Теперь сравним угловые коэффициенты:

• k1 = 40/9
• k2 = -5/12

Поскольку угловые коэффициенты не равны, то прямые не являются параллельными и не совпадают. Следовательно, они пересекаются.

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых. Для этого решим систему уравнений:

1. 40x - 9y + 15 = 0
2. 5x + 12y + 15 = 0

Решим систему методом подстановки или методом сложения. Я воспользуюсь методом подстановки:

Из первого уравнения выразим y:

1. 9y = 40x + 15
   y = (40/9)x + 15/9.

Теперь подставим это значение y во второе уравнение:

1. 5x + 12((40/9)x + 15/9) + 15 = 0
   5x + (480/9)x + 180/9 + 15 = 0
   5x + (480/9)x + 180/9 + (135/9) = 0
   (5 + 480/9)x + 315/9 = 0.

Теперь найдем x:

1. (5 + 480/9)x = -315/9
   (45/9 + 480/9)x = -315/9
   (525/9)x = -315/9
   x = -315/525 = -21/35 = -3/5.

Теперь подставим x = -3/5 обратно в одно из уравнений, чтобы найти y:

1. 40(-3/5) - 9y + 15 = 0
   -240/5 - 9y + 15 = 0
   -48 - 9y + 15 = 0
   -9y = 33
   y = -33/9 = -11/3.

Таким образом, точка пересечения прямых: (-3/5, -11/3).

Теперь найдем угол между этими прямыми. Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2 можно найти по формуле:

tan(φ) = |(k1 - k2) / (1 + k1 * k2)|

Подставим значения:

1. k1 = 40/9
2. k2 = -5/12

Сначала найдем k1 - k2:

1. k1 - k2 = (40/9) - (-5/12) = (40/9) + (5/12).

Для сложения дробей найдем общий знаменатель:

1. Общий знаменатель = 36.
   (40/9) = (40 * 4)/(9 * 4) = 160/36
   (5/12) = (5 * 3)/(12 * 3) = 15/36
   k1 - k2 = (160 + 15)/36 = 175/36.

Теперь найдем k1 * k2:

1. (40/9) * (-5/12) = -200/108 = -25/27.

Теперь подставим в формулу:

1. tan(φ) = |(175/36) / (1 - 25/27)|.

Теперь найдем 1 - 25/27:

1. 1 = 27/27
   27/27 - 25/27 = 2/27.

Теперь подставим:

1. tan(φ) = |(175/36) / (2/27)| = (175/36) * (27/2) = 175 * 27 / (36 * 2) = 4725 / 72.

Теперь можем найти угол φ, используя арктангенс:

φ = arctan(4725 / 72).

Таким образом, мы определили, что прямые пересекаются, нашли точку пересечения и можем вычислить угол между ними.