Как решить иррациональное уравнение √x+8=x-1?

Математика 10 класс Иррациональные уравнения иррациональное уравнение решение уравнения математика √x+8 x-1 методы решения алгебра уравнения с корнями Новый

Чтобы решить иррациональное уравнение √(x + 8) = x - 1, следуем следующим шагам:

1. Определим область допустимых значений:
   • Сначала рассмотрим выражение под корнем: x + 8. Чтобы это выражение было неотрицательным, необходимо, чтобы x + 8 ≥ 0.
   • Решим неравенство: x ≥ -8. Таким образом, область допустимых значений – это x ≥ -8.
2. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   Чтобы избавиться от корня, возведем обе стороны уравнения в квадрат:

   (√(x + 8))² = (x - 1)²

   Это приведет к следующему уравнению:

   x + 8 = (x - 1)(x - 1)

   Раскроем скобки:

   x + 8 = x² - 2x + 1

3. Переносим все члены в одну сторону:

   Переносим x и 8 на правую сторону:

   0 = x² - 2x + 1 - x - 8

   Упрощаем уравнение:

   0 = x² - 3x - 7

4. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь решим квадратное уравнение x² - 3x - 7 = 0 с помощью дискриминанта:

   D = b² - 4ac, где a = 1, b = -3, c = -7.

   D = (-3)² - 4 * 1 * (-7) = 9 + 28 = 37.

   Так как D > 0, уравнение имеет два различных корня:

   x₁ = (3 + √37) / 2 и x₂ = (3 - √37) / 2.

5. Находим корни:

   Вычисляем корни:

   x₁ ≈ 5.54 и x₂ ≈ -2.54.

6. Проверяем корни на допустимость:

   Теперь проверим, какие из найденных корней удовлетворяют области допустимых значений (x ≥ -8):

   • x₁ ≈ 5.54, подходит, так как 5.54 ≥ -8.
   • x₂ ≈ -2.54, также подходит, так как -2.54 ≥ -8.

   Но необходимо проверить, удовлетворяют ли они исходному уравнению:

   • Для x₁ ≈ 5.54: √(5.54 + 8) ≈ 5.54 - 1, что верно.
   • Для x₂ ≈ -2.54: √(-2.54 + 8) ≈ -2.54 - 1, что не верно (корень не может быть отрицательным).

Ответ: Корень уравнения: x ≈ 5.54.