Как решить неравенство: |x+1| < 1/(x+1)?

Математика 10 класс Неравенства с модулями неравенство решение неравенства модуль математика 10 класс алгебра неравенства с модулем математические задачи Новый

Чтобы решить неравенство |x+1| < 1/(x+1), начнем с анализа обеих сторон неравенства.

Сначала рассмотрим область определения. Поскольку у нас есть дробь 1/(x+1), значение x+1 не должно равняться нулю. Это значит, что x ≠ -1.

Теперь разберем модуль. Модуль |x+1| может быть равен x+1, если x+1 ≥ 0 (то есть x ≥ -1), и -(x+1), если x+1 < 0 (то есть x < -1).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Случай 1: x + 1 ≥ 0 (то есть x ≥ -1)
• В этом случае |x+1| = x + 1. Подставим в неравенство:
• x + 1 < 1/(x + 1).
• Умножим обе стороны на (x + 1) (помните, что при этом нужно учитывать, что x + 1 > 0):
• (x + 1)(x + 1) < 1, что приводит к:
• x^2 + 2x + 1 < 1, или x^2 + 2x < 0.
• Решим неравенство x^2 + 2x < 0:
• Факторизуем: x(x + 2) < 0.
• Найдем корни: x = 0 и x = -2.
• Теперь определим знак произведения:
• На промежутке (-∞, -2) - положительное, на (-2, 0) - отрицательное, на (0, +∞) - положительное.
• Таким образом, решение для этого случая: -2 < x < 0.
2. Случай 2: x + 1 < 0 (то есть x < -1)
• В этом случае |x+1| = -(x + 1). Подставим в неравенство:
• -(x + 1) < 1/(x + 1).
• Умножим обе стороны на (x + 1) (помните, что при этом нужно учитывать, что x + 1 < 0, поэтому знак неравенства поменяется):
• -(x + 1)(x + 1) > 1, что приводит к:
• -(x^2 + 2x + 1) > 1, или -x^2 - 2x - 1 > 1.
• Переносим 1 влево:
• -x^2 - 2x - 2 > 0, или x^2 + 2x + 2 < 0.
• Решим это неравенство. Дискриминант D = 2^2 - 4*1*2 = 4 - 8 = -4, что означает, что уравнение не имеет действительных корней и всегда положительно.
• Следовательно, в этом случае нет решений.

Теперь объединим результаты из обоих случаев. Из первого случая мы получили: -2 < x < 0, а из второго случая решений нет.

Таким образом, окончательное решение неравенства |x+1| < 1/(x+1):

-2 < x < 0.