Какова формула для нахождения квадрата расстояния от центра вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 до центра описанной окружности этого треугольника?

Математика 10 класс Геометрия треугольников формула расстояние вписанная окружность описанная окружность прямоугольный треугольник катеты 6 8 математика 10 класс Новый

Чтобы найти квадрат расстояния от центра вписанной окружности (I) прямоугольного треугольника до центра описанной окружности (O), нужно сначала определить координаты этих центров и использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Для удобства, обозначим вершины треугольника следующим образом:

• A(0, 0) - вершина, где катеты пересекаются;
• B(6, 0) - вершина на оси X;
• C(0, 8) - вершина на оси Y.

Теперь найдем координаты центра вписанной окружности (I) и центра описанной окружности (O).

Шаг 1: Находим координаты центра вписанной окружности (I)

Центр вписанной окружности находится по формуле:

• x_I = (a*x_A + b*x_B + c*x_C) / (a + b + c),
• y_I = (a*y_A + b*y_B + c*y_C) / (a + b + c),

где a, b и c - длины сторон треугольника, а (x_A, y_A), (x_B, y_B), (x_C, y_C) - координаты вершин.

В нашем треугольнике:

• Длина стороны AB (катет) = 6 (a);
• Длина стороны AC (катет) = 8 (b);
• Длина стороны BC (гипотенуза) = √(6² + 8²) = 10 (c).

Теперь подставим значения:

• x_I = (6*0 + 8*6 + 10*0) / (6 + 8 + 10) = 48 / 24 = 2;
• y_I = (6*0 + 8*0 + 10*8) / (6 + 8 + 10) = 80 / 24 ≈ 3.33.

Таким образом, координаты центра вписанной окружности I равны (2, 3.33).

Шаг 2: Находим координаты центра описанной окружности (O)

Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике находится в середине гипотенузы. Его координаты можно найти следующим образом:

• x_O = (x_B + x_C) / 2 = (6 + 0) / 2 = 3;
• y_O = (y_B + y_C) / 2 = (0 + 8) / 2 = 4.

Таким образом, координаты центра описанной окружности O равны (3, 4).

Шаг 3: Находим расстояние между I и O

Теперь можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками:

• d = √((x_O - x_I)² + (y_O - y_I)²).

Подставим координаты:

• d = √((3 - 2)² + (4 - 3.33)²) = √(1² + 0.67²) = √(1 + 0.4489) = √(1.4489).

Теперь найдем квадрат расстояния:

• d² = 1.4489.

Таким образом, квадрат расстояния от центра вписанной окружности до центра описанной окружности равен приблизительно 1.4489.