Чтобы найти площадь параллелограмма, вершины которого находятся на одной окружности, нужно воспользоваться формулой:

Площадь параллелограмма = a * b * sin(α),

где a и b - длины сторон параллелограмма, а α - угол между ними. Однако в данном случае мы знаем, что параллелограмм вписан в окружность, и это означает, что он является ромбом.

Так как стороны параллелограмма соотносятся как 40 : 42, мы можем обозначить длины сторон как:

• a = 40k
• b = 42k

Теперь нам нужно найти значение k. Для этого используем свойство вписанных фигур. Параллелограмм, вписанный в окружность, имеет свои стороны равными радиусам окружности, если они равны. Но в нашем случае стороны разные, и мы можем использовать формулу для длины стороны, которая равна:

Сторона = 2 * R * sin(α/2),

где R - радиус окружности, а α - угол между сторонами.

Так как у нас есть радиус окружности, равный 116 см, мы можем выразить стороны через радиус и угол:

• 40k = 2 * 116 * sin(α/2)
• 42k = 2 * 116 * sin(β/2)

Теперь найдем площадь параллелограмма через радиус окружности и угол между сторонами. Площадь параллелограмма также можно выразить через радиус окружности и синус угла:

Площадь = R^2 * sin(α) * sin(β),

где α и β - углы между сторонами.

Суммируя углы α и β, мы получаем 180 градусов, так как сумма углов в параллелограмме равна 360 градусов. Для нахождения площади нам нужно использовать формулу:

Площадь = 2 * R^2 * sin(α/2) * cos(α/2) = R^2 * sin(α).

Теперь мы можем найти площадь:

Подставляем радиус окружности:

Площадь = 116^2 * sin(α).

Теперь, чтобы найти значение sin(α),нам нужно вычислить его через соотношение сторон:

Сначала найдем k:

40k + 42k = 2 * 116

82k = 232

k = 232 / 82 = 2.83 см.

Теперь найдем длины сторон:

• a = 40 * 2.83 = 113.2 см
• b = 42 * 2.83 = 118.0 см

Теперь подставим эти значения в формулу площади:

Площадь = 113.2 * 118.0 * sin(α).

Для нахождения sin(α) мы можем использовать соотношение сторон:

Площадь = 116^2 * sin(α) = 13456 * sin(α).

Теперь, учитывая, что площадь также равна произведению сторон и синуса угла, мы можем выразить sin(α) через значение площади.

Таким образом, окончательно, площадь параллелограмма будет равна:

Площадь = 116 * 116 * sin(α).

Теперь подставив все значения, мы можем найти окончательную площадь параллелограмма.