Какова площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ осевого сечения равна 20 см и составляет с радиусом основания угол 60°?

Математика 10 класс Площадь поверхности цилиндра площадь полной поверхности цилиндра диагональ осевого сечения радиус основания угол 60 градусов задачи по математике Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности цилиндра, нам нужно сначала определить его высоту и радиус основания. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение радиуса и высоты цилиндра

У нас есть диагональ осевого сечения цилиндра, которая равна 20 см, и угол между радиусом основания и диагональю равен 60°.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где:

• одна катета - это радиус основания (r),
• другой катет - это высота цилиндра (h),
• гипотенуза - это диагональ осевого сечения (d).

Мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения радиуса и высоты.

Шаг 2: Использование тригонометрии

1. Из треугольника, где угол 60°, мы можем написать:

   cos(60°) = r / d

   Подставляем значения:

   cos(60°) = r / 20

   Поскольку cos(60°) = 0.5, мы получаем:

   0.5 = r / 20

   Отсюда:

   r = 20 * 0.5 = 10 см.

2. Теперь найдем высоту h с помощью синуса:

   sin(60°) = h / d

   Подставляем значения:

   sin(60°) = h / 20

   Поскольку sin(60°) = √3/2, мы получаем:

   √3/2 = h / 20

   Отсюда:

   h = 20 * (√3/2) = 10√3 см.

Шаг 3: Формула для площади полной поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра (S) рассчитывается по формуле:

S = 2πr(h + r)

Теперь подставим найденные значения r и h:

• r = 10 см,
• h = 10√3 см.

Шаг 4: Подсчет площади

1. Подставим значения в формулу:

   S = 2π 10 (10√3 + 10)

   S = 20π * (10√3 + 10)

2. Упростим:

   S = 20π * 10(√3 + 1)

   S = 200π(√3 + 1) см².

Таким образом, площадь полной поверхности цилиндра составляет 200π(√3 + 1) см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна 200π(√3 + 1) см².