Чтобы найти сумму всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают остаток 7, начнем с определения таких чисел.

Двузначные натуральные числа находятся в диапазоне от 10 до 99. Мы ищем числа, которые можно представить в виде:

x = 13k + 7

где k - целое число. Теперь найдем, при каких значениях k число x будет двузначным.

Для этого установим два неравенства:

1. 13k + 7 >= 10
2. 13k + 7 <= 99

Решим первое неравенство:

1. 13k + 7 >= 10
2. 13k >= 3
3. k >= 3/13

Так как k должно быть целым, то минимальное значение k равно 1.

Теперь решим второе неравенство:

1. 13k + 7 <= 99
2. 13k <= 92
3. k <= 92/13

Вычислим 92/13:

92/13 ≈ 7.08. Так как k должно быть целым, максимальное значение k равно 7.

Теперь мы знаем, что k может принимать значения от 1 до 7. Подставим эти значения в формулу x = 13k + 7:

• k = 1: x = 13*1 + 7 = 20
• k = 2: x = 13*2 + 7 = 33
• k = 3: x = 13*3 + 7 = 46
• k = 4: x = 13*4 + 7 = 59
• k = 5: x = 13*5 + 7 = 72
• k = 6: x = 13*6 + 7 = 85
• k = 7: x = 13*7 + 7 = 98

Итак, мы нашли все двузначные натуральные числа, которые при делении на 13 дают остаток 7: 20, 33, 46, 59, 72, 85, 98.

Теперь найдем сумму этих чисел:

Сумма = 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98

Посчитаем поэтапно:

• 20 + 33 = 53
• 53 + 46 = 99
• 99 + 59 = 158
• 158 + 72 = 230
• 230 + 85 = 315
• 315 + 98 = 413

Таким образом, сумма всех двузначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают остаток 7, равна 413.