Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = sin(x) на отрезке [0; 4Пи/3], следуем следующему алгоритму:

1. Определение области определения: Функция sin(x) определена для всех x, так что мы можем рассматривать ее на данном отрезке.
2. Нахождение производной: Для поиска экстремумов функции найдем ее производную:
   • Производная функции y = sin(x) равна y' = cos(x).
3. Поиск критических точек: Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Решаем уравнение:
   • cos(x) = 0.
4. Это уравнение выполняется при x = Пи/2 + k*Пи, где k - целое число.
5. Теперь найдем такие x, которые лежат в интервале [0; 4Пи/3]:
   • k = 0: x = Пи/2.
   • k = 1: x = 3Пи/2 (не входит в интервал).
6. Проверка значений функции: Теперь мы найдем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   • y(0) = sin(0) = 0.
   • y(Пи/2) = sin(Пи/2) = 1.
   • y(4Пи/3) = sin(4Пи/3) = -√3/2 (приблизительно -0.866).
7. Сравнение значений: Сравниваем найденные значения:
   • y(0) = 0,
   • y(Пи/2) = 1,
   • y(4Пи/3) = -√3/2 (приблизительно -0.866).
8. Вывод: Наибольшее значение функции на отрезке [0; 4Пи/3] равно 1 (при x = Пи/2), а наименьшее значение равно -√3/2 (при x = 4Пи/3).

Ответ: Наибольшее значение: 1; наименьшее значение: -√3/2.