Каковы размеры прямоугольника, если его периметр составляет 80 метров, а при увеличении длины на 8 метров и ширины на 2 метра площадь возрастает в 1,5 раза?

Математика 10 класс Задачи на периметр и площадь прямоугольника прямоугольник размеры прямоугольника периметр 80 метров увеличение длины увеличение ширины площадь возрастает задача по математике решение задачи геометрия 10 класс Новый

Для решения задачи давайте обозначим длину прямоугольника как L, а ширину как W.

Сначала запишем уравнение для периметра прямоугольника. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2(L + W)

По условию задачи, периметр составляет 80 метров, поэтому мы можем записать:

2(L + W) = 80

Разделим обе стороны уравнения на 2:

L + W = 40

Теперь у нас есть первое уравнение:

• 1. L + W = 40

Теперь рассмотрим второе условие задачи. Площадь S прямоугольника вычисляется по формуле:

S = L * W

При увеличении длины на 8 метров и ширины на 2 метра, новая площадь будет:

S' = (L + 8) * (W + 2)

По условию задачи, новая площадь в 1,5 раза больше старой:

(L + 8) * (W + 2) = 1.5 * (L * W)

Теперь у нас есть второе уравнение:

• 2. (L + 8)(W + 2) = 1.5(L * W)

Теперь мы можем решить систему из двух уравнений. Начнем с первого уравнения:

Из уравнения 1 выразим W:

W = 40 - L

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(L + 8)(40 - L + 2) = 1.5(L * (40 - L))

Упростим это уравнение:

(L + 8)(42 - L) = 1.5(40L - L^2)

Теперь раскроем скобки:

42L + 336 - L^2 - 8L = 60L - 1.5L^2

Соберем все термины в одну сторону:

0 = 1.5L^2 - L^2 + 60L - 42L - 336

Это упрощается до:

0 = 0.5L^2 + 18L - 336

Умножим все уравнение на 2 для удобства:

0 = L^2 + 36L - 672

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4*1*(-672)

D = 1296 + 2688 = 3964

Теперь находим корни уравнения:

L = (-b ± √D) / 2a = (-36 ± √3964) / 2

Теперь вычислим значение корней:

√3964 ≈ 63

L1 = (-36 + 63) / 2 ≈ 13.5

L2 = (-36 - 63) / 2 ≈ -49.5 (не подходит)

Таким образом, L ≈ 13.5 метров. Теперь подставим значение L в первое уравнение, чтобы найти W:

W = 40 - 13.5 = 26.5 метров.

Итак, размеры прямоугольника:

• Длина (L) ≈ 13.5 метров
• Ширина (W) ≈ 26.5 метров