Для решения задачи давайте обозначим длину прямоугольника как L, а ширину как W.

Сначала запишем уравнение для периметра прямоугольника. Периметр P прямоугольника вычисляется по формуле:

P = 2(L + W)

По условию задачи, периметр составляет 80 метров, поэтому мы можем записать:

2(L + W) = 80

Разделим обе стороны уравнения на 2:

L + W = 40

Теперь у нас есть первое уравнение:

• 1. L + W = 40

Теперь рассмотрим второе условие задачи. Площадь S прямоугольника вычисляется по формуле:

S = L * W

При увеличении длины на 8 метров и ширины на 2 метра, новая площадь будет:

S' = (L + 8) * (W + 2)

По условию задачи, новая площадь в 1,5 раза больше старой:

(L + 8) * (W + 2) = 1.5 * (L * W)

Теперь у нас есть второе уравнение:

• 2. (L + 8)(W + 2) = 1.5(L * W)

Теперь мы можем решить систему из двух уравнений. Начнем с первого уравнения:

Из уравнения 1 выразим W:

W = 40 - L

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

(L + 8)(40 - L + 2) = 1.5(L * (40 - L))

Упростим это уравнение:

(L + 8)(42 - L) = 1.5(40L - L^2)

Теперь раскроем скобки:

42L + 336 - L^2 - 8L = 60L - 1.5L^2

Соберем все термины в одну сторону:

0 = 1.5L^2 - L^2 + 60L - 42L - 336

Это упрощается до:

0 = 0.5L^2 + 18L - 336

Умножим все уравнение на 2 для удобства:

0 = L^2 + 36L - 672

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D равен:

D = b^2 - 4ac = 36^2 - 4*1*(-672)

D = 1296 + 2688 = 3964

Теперь находим корни уравнения:

L = (-b ± √D) / 2a = (-36 ± √3964) / 2

Теперь вычислим значение корней:

√3964 ≈ 63

L1 = (-36 + 63) / 2 ≈ 13.5

L2 = (-36 - 63) / 2 ≈ -49.5 (не подходит)

Таким образом, L ≈ 13.5 метров. Теперь подставим значение L в первое уравнение, чтобы найти W:

W = 40 - 13.5 = 26.5 метров.

Итак, размеры прямоугольника:

• Длина (L) ≈ 13.5 метров
• Ширина (W) ≈ 26.5 метров