Помогите решить задачу: периметр прямоугольника составляет 100 см. Если увеличить основание на 10 см и высоту на 2 см, то площадь прямоугольника возрастет в полтора раза. Каковы стороны прямоугольника?

Математика 10 класс Задачи на периметр и площадь прямоугольника периметр прямоугольника площадь прямоугольника задачи по математике решение задач стороны прямоугольника увеличение размеров прямоугольника математические задачи 10 класс Новый

Давайте обозначим основание прямоугольника как a, а высоту как b. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 100 см. Формула для периметра прямоугольника выглядит так:

Периметр = 2 * (a + b)

Поэтому у нас есть первое уравнение:

2 * (a + b) = 100

Упростим это уравнение:

• a + b = 50

Теперь, если мы увеличим основание на 10 см и высоту на 2 см, новые размеры прямоугольника будут (a + 10) и (b + 2). Площадь нового прямоугольника будет равна:

Площадь нового = (a + 10) * (b + 2)

Согласно условию задачи, площадь нового прямоугольника увеличивается в полтора раза по сравнению с исходной площадью. Исходная площадь равна a * b. Таким образом, у нас есть второе уравнение:

(a + 10) * (b + 2) = 1.5 * (a * b)

Теперь давайте упростим это уравнение:

(a + 10)(b + 2) = ab * 1.5

Раскроем скобки:

ab + 2a + 10b + 20 = 1.5ab

Переносим все на одну сторону:

ab + 2a + 10b + 20 - 1.5ab = 0

Упрощаем:

-0.5ab + 2a + 10b + 20 = 0

Умножим все уравнение на -2, чтобы избавиться от дроби:

ab - 4a - 20b - 40 = 0

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a + b = 50
2. ab - 4a - 20b - 40 = 0

Подставим b = 50 - a из первого уравнения во второе:

a(50 - a) - 4a - 20(50 - a) - 40 = 0

Раскроем скобки:

50a - a^2 - 4a - 1000 + 20a - 40 = 0

Соберем подобные члены:

-a^2 + 66a - 1040 = 0

Умножим на -1:

a^2 - 66a + 1040 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 66^2 - 4 * 1 * 1040

D = 4356 - 4160 = 196

Теперь находим корни:

a = (66 ± √196) / 2

Так как √196 = 14, то:

a1 = (66 + 14) / 2 = 40

a2 = (66 - 14) / 2 = 26

Теперь подставим найденные значения a в уравнение b = 50 - a:

• Если a = 40, то b = 50 - 40 = 10
• Если a = 26, то b = 50 - 26 = 24

Таким образом, стороны прямоугольника могут быть:

• 40 см и 10 см
• 26 см и 24 см

Ответ: стороны прямоугольника могут быть 40 см и 10 см или 26 см и 24 см.