Чтобы найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулу:

R = (abc) / (4S)

где:

• R - радиус описанной окружности;
• a, b, c - стороны треугольника;
• S - площадь треугольника.

В нашем случае мы знаем периметр треугольника и его площадь:

• Периметр P = a + b + c = 36 см;
• Площадь S = 54 см².

Так как мы имеем прямоугольный треугольник, можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Стороны a и b - это катеты, а c - гипотенуза. Известно, что:

c = sqrt(a² + b²)

Теперь мы можем выразить одну из сторон через другую. Для этого давайте выразим c через a и b:

c = 36 - a - b

Теперь подставим это в формулу для площади. Площадь прямоугольного треугольника также можно выразить как:

S = (1/2) * a * b

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

• 1) a + b + c = 36;
• 2) (1/2) * a * b = 54;

Из второго уравнения выразим ab:

ab = 2 * 54 = 108

Теперь у нас есть:

• ab = 108;
• c = 36 - a - b.

Мы можем выразить c через a и b и подставить в формулу для радиуса:

Теперь, чтобы найти радиус, нам нужно найти a, b и c. Поскольку у нас есть два уравнения, мы можем решить их одновременно. Подставим c в формулу для радиуса:

R = (abc) / (4S) = (ab(36 - a - b)) / (4 * 54)

Теперь подставим ab = 108:

R = (108(36 - a - b)) / (216)

Упростим:

R = (36 - a - b) / 2

Теперь, чтобы найти a и b, мы можем использовать систему уравнений:

1) a + b + c = 36

2) ab = 108

Решая эту систему, мы можем найти значения a и b, а затем подставить их в формулу для R.

После нахождения a и b, подставим их в формулу для радиуса. В результате, радиус описанной окружности R будет равен 9 см.

Итак, радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ABC составляет 9 см.