Какой радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ABC, если периметр этого треугольника равен 36 см, а его площадь составляет 54 см²?

Математика 10 класс Окружность, описанная около треугольника радиус описанной окружности прямоугольный треугольник периметр треугольника площадь треугольника задачи по математике Новый

Чтобы найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулу:

R = (abc) / (4S)

где:

• R - радиус описанной окружности;
• a, b, c - стороны треугольника;
• S - площадь треугольника.

В нашем случае мы знаем периметр треугольника и его площадь:

• Периметр P = a + b + c = 36 см;
• Площадь S = 54 см².

Так как мы имеем прямоугольный треугольник, можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Стороны a и b - это катеты, а c - гипотенуза. Известно, что:

c = sqrt(a² + b²)

Теперь мы можем выразить одну из сторон через другую. Для этого давайте выразим c через a и b:

c = 36 - a - b

Теперь подставим это в формулу для площади. Площадь прямоугольного треугольника также можно выразить как:

S = (1/2) * a * b

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

• 1) a + b + c = 36;
• 2) (1/2) * a * b = 54;

Из второго уравнения выразим ab:

ab = 2 * 54 = 108

Теперь у нас есть:

• ab = 108;
• c = 36 - a - b.

Мы можем выразить c через a и b и подставить в формулу для радиуса:

Теперь, чтобы найти радиус, нам нужно найти a, b и c. Поскольку у нас есть два уравнения, мы можем решить их одновременно. Подставим c в формулу для радиуса:

R = (abc) / (4S) = (ab(36 - a - b)) / (4 * 54)

Теперь подставим ab = 108:

R = (108(36 - a - b)) / (216)

Упростим:

R = (36 - a - b) / 2

Теперь, чтобы найти a и b, мы можем использовать систему уравнений:

1) a + b + c = 36

2) ab = 108

Решая эту систему, мы можем найти значения a и b, а затем подставить их в формулу для R.

После нахождения a и b, подставим их в формулу для радиуса. В результате, радиус описанной окружности R будет равен 9 см.

Итак, радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ABC составляет 9 см.