Кто прав? Прав Пантелей — такие тройки существуют, причём бесконечно много. Корней ошибается.

Пояснение и вывод формулы (шаг за шагом)

1. Возьмём три подряд идущих точных квадрата: (s-1)^2, s^2, (s+1)^2. Будем требовать, чтобы попарные суммы наших чисел a, b, c равнялись именно этим квадратам:
   • a + b = (s-1)^2,
   • a + c = s^2,
   • b + c = (s+1)^2.
2. Решим систему относительно a, b, c. Складываем первые два равенства и вычитаем третье:
   • 2a = (s-1)^2 + s^2 - (s+1)^2.
   Разложим квадраты (для удобства положим s = 2m — чётное, как в вашем варианте):
   • (2m-1)^2 = 4m^2 - 4m + 1,
   • (2m)^2 = 4m^2,
   • (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1.
   Тогда
   • 2a = (4m^2 - 4m + 1) + 4m^2 - (4m^2 + 4m + 1) = 4m^2 - 8m,
   • a = 2m^2 - 4m.
3. Аналогично для b:
   • 2b = (2m-1)^2 + (2m+1)^2 - (2m)^2 = (4m^2 - 4m + 1) + (4m^2 + 4m + 1) - 4m^2 = 4m^2 + 2,
   • b = 2m^2 + 1.
4. И для c:
   • 2c = (2m)^2 + (2m+1)^2 - (2m-1)^2 = 4m^2 + (4m^2 + 4m + 1) - (4m^2 - 4m + 1) = 4m^2 + 8m,
   • c = 2m^2 + 4m.
5. Теперь подставим n = 2m. Получаем вашу формулу:
   • a = n(n-4)/2,
   • b = (n^2 + 2)/2,
   • c = n(n+4)/2,
   где n — чётное натуральное число. Чтобы a было положительным натуральным, нужно n > 4 (то есть m > 2), как вы и написали.

Примеры: при n = 6 (m = 3) получим (6, 19, 30) и суммы 25 = 5^2, 36 = 6^2, 49 = 7^2; при n = 8 — (16,33,48) и т.д.

Итог: ваше решение верно: таких троек действительно бесконечно много, и приведённая вами общая формула корректна при указанном условии (n чётное и n > 4).