При каком условии векторы a+b и a-b будут взаимно перпендикулярны? Как можно это доказать?

Математика 10 класс Векторы и скалярное произведение векторы взаимно перпендикулярны условие математика доказательство a+b A-b угол скалярное произведение геометрия Новый

Чтобы векторы a+b и a-b были взаимно перпендикулярны, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю. Скалярное произведение двух векторов x и y обозначается как x·y и определяется как:

x·y = |x| |y| cos(θ),

где θ - угол между векторами x и y. Если векторы перпендикулярны, то θ = 90°, и cos(90°) = 0, следовательно, x·y = 0.

Теперь применим это к нашим вектором a+b и a-b:

(a+b)·(a-b) = 0.

Теперь раскроем скалярное произведение:

1. (a+b)·(a-b) = a·a - a·b + b·a - b·b.
2. Заметим, что a·b = b·a, поэтому:
3. (a+b)·(a-b) = a·a - b·b.

Таким образом, условие для того, чтобы векторы a+b и a-b были перпендикулярны, можно записать как:

a·a - b·b = 0.

Это уравнение можно переписать в другом виде:

a·a = b·b.

Это значит, что длины (модули) векторов a и b должны быть равны. Таким образом, векторы a+b и a-b будут взаимно перпендикулярны, если их длины равны.