В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S медиана SK боковой грани S AB равна 5. Какова площадь полной поверхности этой пирамиды, если сторона основания равна 2?

Математика 10 класс Площадь поверхности пирамиды правильная четырехугольная пирамида площадь полной поверхности медиана боковой грани сторона основания задача по математике Новый

Для решения задачи о нахождении площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD, начнем с определения необходимых параметров.

1. Определение параметров пирамиды:

• Сторона основания (квадрат ABCD) равна 2.
• Медиана SK боковой грани SAB равна 5.

2. Вычисление высоты боковой грани:

В правильной четырехугольной пирамиде боковая грань является равнобедренным треугольником, где основание AB равно 2, а медиана SK делит его пополам. Следовательно, отрезок AK равен 1 (половина стороны основания).

Используя теорему Пифагора, мы можем найти высоту треугольника SAK:

• SK = 5 (медиана)
• AK = 1 (половина основания)

Обозначим высоту SA как h. Тогда по теореме Пифагора:

SK² = SA² + AK²

5² = h² + 1²

25 = h² + 1

h² = 25 - 1 = 24

h = √24 = 2√6.

3. Площадь боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из четырех равнобедренных треугольников (SAB, SBC, SCD, SDA). Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (1/2) * основание * высота.

Для треугольника SAB:

• Основание AB = 2.
• Высота SA = 2√6.

Площадь треугольника SAB = (1/2) * 2 * 2√6 = 2√6.

Поскольку все боковые грани равны, общая площадь боковой поверхности будет равна:

Площадь боковой поверхности = 4 * 2√6 = 8√6.

4. Площадь основания:

Площадь основания ABCD, которое является квадратом со стороной 2, вычисляется по формуле:

Площадь = сторона * сторона = 2 * 2 = 4.

5. Площадь полной поверхности:

Теперь мы можем найти полную площадь поверхности пирамиды, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания:

Полная площадь поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь основания = 8√6 + 4.

Ответ: Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 8√6 + 4.