Векторы и координаты. У нас есть точки A (1;3;-2), B (-4;0;-1) и C (2;-3;2). Какой треугольник образуют эти точки ABC? Каков его периметр, длина медианы CE и угол ABC?

Математика 10 класс Векторы и координаты векторы координаты треугольник ABC периметр длина медианы угол ABC точки A B C Новый

Для начала давайте определим, какой треугольник образуют точки A, B и C, а затем найдем его периметр, длину медианы CE и угол ABC.

1. Определение сторон треугольника ABC:

Сначала найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Расстояние между точками P1 (x1, y1, z1) и P2 (x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)

• Длина стороны AB:

Точки A (1; 3; -2) и B (-4; 0; -1)

1. AB = √((-4 - 1)² + (0 - 3)² + (-1 + 2)²)
2. AB = √((-5)² + (-3)² + (1)²)
3. AB = √(25 + 9 + 1) = √35
• Длина стороны BC:

Точки B (-4; 0; -1) и C (2; -3; 2)

1. BC = √((2 + 4)² + (-3 - 0)² + (2 + 1)²)
2. BC = √((6)² + (-3)² + (3)²)
3. BC = √(36 + 9 + 9) = √54
• Длина стороны CA:

Точки C (2; -3; 2) и A (1; 3; -2)

1. CA = √((1 - 2)² + (3 + 3)² + (-2 - 2)²)
2. CA = √((-1)² + (6)² + (-4)²)
3. CA = √(1 + 36 + 16) = √53

2. Периметр треугольника ABC:

Периметр P треугольника равен сумме длин всех его сторон:

P = AB + BC + CA = √35 + √54 + √53

3. Длина медианы CE:

Для нахождения длины медианы CE, сначала найдем координаты середины отрезка AB:

Середина M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2, (zA + zB)/2)

M = ((1 - 4)/2, (3 + 0)/2, (-2 - 1)/2) = (-1.5, 1.5, -1.5)

Теперь найдем длину медианы CE:

CE = √((-1.5 - 2)² + (1.5 + 3)² + (-1.5 - 2)²)

CE = √((-3.5)² + (4.5)² + (-3.5)²)

CE = √(12.25 + 20.25 + 12.25) = √44.75

4. Угол ABC:

Для нахождения угла ABC используем формулу косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)

Сначала найдем векторы AB и BC:

AB = B - A = (-4 - 1, 0 - 3, -1 + 2) = (-5, -3, 1)

BC = C - B = (2 + 4, -3 - 0, 2 + 1) = (6, -3, 3)

Теперь вычислим скалярное произведение AB · BC:

AB · BC = (-5) * 6 + (-3) * (-3) + (1) * 3 = -30 + 9 + 3 = -18

Теперь найдем длины векторов AB и BC:

|AB| = √((-5)² + (-3)² + (1)²) = √(35)

|BC| = √((6)² + (-3)² + (3)²) = √(54)

Теперь подставим значения в формулу косинуса:

cos(θ) = -18 / (√35 * √54)

Угол θ можно найти, взяв арккосинус этого значения.

Таким образом, мы нашли все необходимые параметры треугольника ABC:

• Периметр: P = √35 + √54 + √53
• Длина медианы CE: CE = √44.75
• Угол ABC: cos(θ) = -18 / (√35 * √54)