5. Пусть М – множество всех шестнадцатизначных натуральных чисел, для каждого из которых выполняются два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1.

а) Приведите пример одного числа из множества М. б) Докажите, что все числа из множества М четные.

Математика 11 класс Квадраты натуральных чисел шестнадцатизначные числа множество М квадрат целого числа десятичная запись разряд десятков цифра 1 четные числа примеры чисел доказательство свойств математические задачи Новый

а) Для того чтобы найти пример числа из множества М, нам нужно найти шестнадцатизначное натуральное число, которое является квадратом целого числа и в разряде десятков имеет цифру 1.

Рассмотрим число 10000000000000000. Это число является квадратом 10^8 (то есть 10 000 000 в квадрате). В его десятичной записи разряд десятков равен 0, поэтому оно не подходит.

Теперь возьмем 10000000000000001. Это число является квадратом 100000000000000. В его десятичной записи разряд десятков равен 1, следовательно, это число подходит.

Таким образом, примером числа из множества М может быть 10000000000000001.

б) Теперь докажем, что все числа из множества М четные.

• Пусть n - натуральное число, такое что n^2 принадлежит множеству М.
• Так как n^2 - это квадрат целого числа, то n может быть четным или нечетным.
• Рассмотрим два случая:
• Случай 1: n - четное число. В этом случае n можно записать как 2k, где k - целое число. Тогда n^2 = (2k)^2 = 4k^2. Это число всегда четное.
• Случай 2: n - нечетное число. В этом случае n можно записать как 2k + 1. Тогда n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1. Это число всегда нечетное.
• Таким образом, n^2 может быть четным только в том случае, если n - четное число.
• Поскольку в разряде десятков числа n^2 стоит цифра 1, это означает, что n^2 не может быть нечетным, так как у нечетных чисел в разряде десятков стоит 0, 2, 4, 6 или 8.

Следовательно, все числа из множества М являются четными.