Пусть М – это множество всех шестнадцатизначных натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: первое - это квадрат целого числа, и второе - в десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1.

а) Приведите пример одного числа из множества М. б) Докажите, что все числа из множества М четные.

Математика 11 класс Квадраты натуральных чисел шестнадцатизначные числа квадрат целого числа цифра 1 в десятках множество М четные числа доказательство чётности примеры чисел натуральные числа Новый

а) Пример числа из множества М:

Чтобы найти пример шестнадцатизначного числа, которое является квадратом целого числа и имеет в разряде десятков цифру 1, давайте подберем такое число. Например, рассмотрим число 10000000000000000. Это число является квадратом 10^8 (то есть 10 в восьмой степени), так как:

• 10^8 = 100000000
• (10^8)^2 = 10^16 = 10000000000000000

Теперь проверим, есть ли в этом числе в разряде десятков цифра 1. В десятичной записи 10000000000000000 разряд десятков - это 0, значит, этот пример не подходит. Найдем другое число.

Рассмотрим квадрат числа 1000000000000001. Это число, равное (1000000000000001)^2, будет равно 1000000000000020000000000001. Это число также не подходит, так как оно не шестнадцатизначное.

Теперь попробуем число 1000000000000000 + 10 = 1000000000000010.

В итоге, примером числа из множества М будет 1000000000000000, так как в разряде десятков стоит 1.

б) Доказательство того, что все числа из множества М четные:

Чтобы доказать, что все числа из множества М четные, рассмотрим следующее:

• Пусть n - это целое число, тогда его квадрат будет равен n^2.
• Если n - четное число, то n = 2k для некоторого целого k. Тогда:
• n^2 = (2k)^2 = 4k^2, что также четное.
• Если n - нечетное число, то n = 2k + 1 для некоторого целого k. Тогда:
• n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1, что является нечетным.

Таким образом, мы видим, что квадрат четного числа всегда четен, а квадрат нечетного числа всегда нечетен.

Теперь обратим внимание на условие, что в разряде десятков стоит цифра 1. Это возможно только в случае, когда число четное, так как четные числа заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8, а нечетные числа заканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9.

Следовательно, все числа из множества М, которые являются квадратами целых чисел и имеют в десятичной записи в разряде десятков цифру 1, должны быть четными.