Арифметическая иерархия с примерами.

Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи-1 формулой, то результат даст пи1-формулу. Верно ли обратное: если соединить закрытую пи-1 формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, это даст в результате сигма1-формулу? То есть, результат зависит от квантора в начале. Если действие начинается с сигма1-формулы (неограниченного квантора существования), то результат конъюнкции будет пи1-формулой. А если действие начинается с пи1-формулы (неограниченного квантора всеобщности), то результат конъюнкции будет сигма1-формулой? Верно? Жду ответа специалистов с примерами, спасибо.

Математика 11 класс Арифметическая иерархия ариметическая иерархия сигма1 формула пи1 формула конъюнкция формул кванторы в математике примеры арифметической иерархии свойства формул математическая логика теорема о формуле структура формул Новый

Арифметическая иерархия — это структура, которая классифицирует формулы в арифметике по сложности, основанной на количестве кванторов и их типах. Формулы делятся на различные классы, такие как сигма1 и пи1, в зависимости от того, начинаются ли они с квантора существования (∃) или квантора всеобщности (∀).

Теперь давайте рассмотрим ваш вопрос о соединении формул:

• Сигма1-формула — это формула, которая начинается с квантора существования и может быть представлена в виде: ∃x1 ∀x2 ... P(x1, x2, ...), где P — это предикат без кванторов.
• Пи1-формула — это формула, которая начинается с квантора всеобщности и может быть представлена в виде: ∀x1 ∃x2 ... Q(x1, x2, ...), где Q — это предикат без кванторов.

Ваши утверждения:

1. Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи1-формулой, то результат будет пи1-формулой. Это верно.
2. Если соединить закрытую пи1-формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, то результат будет сигма1-формулой. Это тоже верно.

Таким образом, результат действительно зависит от того, с какой формулы начинается конъюнкция:

• Начинаем с сигма1-формулы (∃): результатом будет пи1-формула.
• Начинаем с пи1-формулы (∀): результатом будет сигма1-формула.

Примеры:

• Сигма1-формула: ∃x (P(x))
• Пи1-формула: ∀y (Q(y))

Если мы соединим их:

• ∃x (P(x)) ∧ ∀y (Q(y)) — результат будет пи1-формулой.

Теперь рассмотрим другой пример:

• Пи1-формула: ∀x (R(x))
• Сигма1-формула: ∃y (S(y))

Если мы соединим их:

• ∀x (R(x)) ∧ ∃y (S(y)) — результат будет сигма1-формулой.

Вывод: Ваша интуиция абсолютно верна! Результат конъюнкции действительно зависит от того, с какой формулы начинается соединение.