Какова арифметическая иерархия с примерами?

Если соединить закрытую сигма1-формулу конъюнкцией с закрытой пи-1 формулой, даст ли это результат в виде пи1-формулы? И верно ли обратное: если соединить закрытую пи-1 формулу конъюнкцией с закрытой сигма1-формулой, получится ли сигма1-формула? То есть, зависит ли результат от квантора в начале? Если действие начинается с сигма1-формулы (неограниченного квантора существования), будет ли результат конъюнкции пи1-формулой? А если действие начинается с пи1-формулы (неограниченного квантора всеобщности), станет ли результат конъюнкции сигма1-формулой? Верно ли это? Жду ответа СПЕЦИАЛИСТОВ с примерами, спасибо.

Математика 11 класс Арифметическая иерархия арифметическая иерархия примеры арифметической иерархии сигма1 формулы пи1 формулы конъюнкция формул кванторы в математике свойства арифметической иерархии математическая логика теорема о формалах математические формулы Новый

Арифметическая иерархия - это классификация формул в арифметике, основанная на структуре кванторов. Основные уровни иерархии обозначаются как сигма и пи, где:

• Сигма1-формулы: Формулы, которые имеют вид, где перед переменными стоят неограниченные кванторы существования. Например, формула "Существует x, для всех y, P(x, y)" является сигма1-формулой.
• Пи1-формулы: Формулы, которые имеют вид, где перед переменными стоят неограниченные кванторы всеобщности. Например, формула "Для всех x, существует y, P(x, y)" является пи1-формулой.

Теперь рассмотрим ваши вопросы о конъюнкции сигма1 и пи1 формул.

1. Если соединить закрытую сигма1-формулу с закрытой пи1-формулой конъюнкцией, даст ли это результат в виде пи1-формулы?
   Нет, результатом будет сигма1-формула. Это связано с тем, что в сигма1-формуле присутствует неограниченный квантор существования, который при конъюнкции "сохраняет" свой характер. Например, если у нас есть сигма1-формула "Существует x, P(x)" и пи1-формула "Для всех y, Q(y)", то их конъюнкция будет выглядеть как "Существует x, P(x) и для всех y, Q(y)", что сохраняет структуру сигма1.
2. Если соединить закрытую пи1-формулу с закрытой сигма1-формулой конъюнкцией, получится ли сигма1-формула?
   Да, результатом будет пи1-формула. В этом случае пи1-формула "Для всех x, P(x)" и сигма1-формула "Существует y, Q(y)" при конъюнкции будут выглядеть как "Для всех x, P(x) и существует y, Q(y)", что сохраняет структуру пи1.

Таким образом, результат действительно зависит от того, с какой формулы начинается действие:

• Если действие начинается с сигма1-формулы, то результат конъюнкции с пи1-формулой будет сигма1-формулой.
• Если действие начинается с пи1-формулы, то результат конъюнкции с сигма1-формулой будет пи1-формулой.

Эти свойства иерархии помогают понять, как формулы взаимодействуют друг с другом и как их структура влияет на результаты операций с ними.