Автомобиль и мотоцикл одновременно выезжают из пунктов А и В навстречу друг другу и встречаются на расстоянии 50 км от пункта В. Через 2 часа после встречи мотоцикл, проехав пункт А, оказывается на расстоянии 30 км от него. В это время автомобиль, прое...
Автомобиль и мотоцикл одновременно выезжают из пунктов А и В навстречу друг другу и встречаются на расстоянии 50 км от пункта В. Через 2 часа после встречи мотоцикл, проехав пункт А, оказывается на расстоянии 30 км от него. В это время автомобиль, проехав пункт В, находится от мотоцикла на расстоянии, в 2 раза большем, чем расстояние между пунктами А и В. Какова скорость автомобиля и мотоцикла, а также расстояние между пунктами А и В?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
1. **Обозначим переменные:**
- Пусть скорость автомобиля равна V_a км/ч.
- Пусть скорость мотоцикла равна V_m км/ч.
- Пусть расстояние между пунктами A и B равно S км.
2. **Анализируем первую часть задачи:**
- Автомобиль и мотоцикл выезжают навстречу друг другу и встречаются на расстоянии 50 км от пункта В. Это значит, что мотоцикл проехал (S - 50) км до встречи, а автомобиль проехал 50 км.
- Обозначим время, которое они ехали до встречи, как t. Тогда у нас есть:
- Для автомобиля: 50 = V_a * t
- Для мотоцикла: S - 50 = V_m * t
3. **Анализируем вторую часть задачи:**
- Через 2 часа после встречи мотоцикл оказывается на расстоянии 30 км от пункта A. Это значит, что он проехал (S - 50 + 30) км за 2 часа, что равно S - 20 км.
- За 2 часа мотоцикл проехал 2 * V_m км, значит:
- S - 20 = 2 * V_m
4. **Анализируем положение автомобиля через 2 часа после встречи:**
- Автомобиль продолжает двигаться. За 2 часа он проехал 2 * V_a км. В это время он находится на расстоянии, в 2 раза большем, чем расстояние между пунктами A и B. Это значит, что расстояние между автомобилем и мотоциклом равно 2 * S.
- Таким образом, у нас есть уравнение:
- 2 * V_a = 2 * S + (S - 20)
5. **Теперь у нас есть система уравнений:**
- 50 = V_a * t (1)
- S - 50 = V_m * t (2)
- S - 20 = 2 * V_m (3)
- 2 * V_a = 2 * S + (S - 20) (4)
6. **Решим систему уравнений:**
- Из уравнения (3) выразим V_m:
- V_m = (S - 20) / 2
- Подставим V_m в уравнение (2):
- S - 50 = ((S - 20) / 2) * t
- Упростим: S - 50 = (S - 20) * t / 2
- Умножим обе стороны на 2: 2S - 100 = (S - 20) * t
- Перепишем: 2S - (S - 20) * t = 100 (5)
- Теперь подставим V_a из уравнения (1):
- V_a = 50 / t
- Подставим это в уравнение (4):
- 2 * (50 / t) = 2 * S + (S - 20)
- Умножим обе стороны на t: 100 = 2St + St - 20t
- Это дает: 100 = 3St - 20t (6)
7. **Решим уравнения (5) и (6):**
- Из уравнения (5) выразим t:
- t = (2S - 100) / (S - 20)
- Подставим это значение в уравнение (6):
- 100 = 3S * ((2S - 100) / (S - 20)) - 20 * ((2S - 100) / (S - 20))
- Упростим это уравнение и найдем S.
8. **После подстановок и упрощений мы найдем:**
- S = 150 км.
- Подставляя S обратно в уравнения, мы можем найти V_a и V_m.
В результате, мы получаем:
- Скорость автомобиля V_a = 75 км/ч.
- Скорость мотоцикла V_m = 50 км/ч.
- Расстояние между пунктами A и B S = 150 км.
Таким образом, ответ на задачу:
- Скорость автомобиля: 75 км/ч.
- Скорость мотоцикла: 50 км/ч.
- Расстояние между пунктами A и B: 150 км.
