Даны координаты вершин треугольника АВС: A(-10, 0), B(12, 4), C(8, 6). Нужно найти:

1. тангенс угла A;
2. уравнение высоты BC и её длину;
3. уравнение медианы AE;
4. точку K пересечения медианы AE и высоты BC;
5. уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB.

Математика 11 класс Геометрия в координатной плоскости математика 11 класс треугольник ABC координаты вершин тангенс угла A уравнение высоты BC длина высоты BC уравнение медианы AE точка K пересечения уравнение прямой параллельно стороне AB геометрия аналитическая геометрия задачи на треугольник Новый

Решим задачу по шагам, начиная с нахождения тангенса угла A.

1. Нахождение тангенса угла A:

Для нахождения тангенса угла A, мы сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB: B - A = (12 - (-10), 4 - 0) = (22, 4)
• Вектор AC: C - A = (8 - (-10), 6 - 0) = (18, 6)

Теперь найдем углы между этими векторами. Для этого используем скалярное произведение:

Скалярное произведение AB и AC:

AB • AC = 22 * 18 + 4 * 6 = 396 + 24 = 420

Теперь найдем длины векторов:

• Длина AB = sqrt(22^2 + 4^2) = sqrt(484 + 16) = sqrt(500) = 10 * sqrt(5)
• Длина AC = sqrt(18^2 + 6^2) = sqrt(324 + 36) = sqrt(360) = 6 * sqrt(10)

Теперь можем найти косинус угла A:

cos(A) = (AB • AC) / (|AB| * |AC|) = 420 / (10 * sqrt(5) * 6 * sqrt(10)) = 420 / (60 * sqrt(50)) = 7 / sqrt(50)

Теперь найдем синус угла A:

sin(A) = sqrt(1 - cos^2(A)) = sqrt(1 - (7/sqrt(50))^2) = sqrt(1 - 49/50) = sqrt(1/50) = 1/sqrt(50)

Теперь можем найти тангенс угла A:

tan(A) = sin(A) / cos(A) = (1/sqrt(50)) / (7/sqrt(50)) = 1/7

2. Уравнение высоты BC и её длина:

Для нахождения уравнения высоты, проведем перпендикуляр из точки A к прямой BC. Сначала найдем уравнение прямой BC:

Найдем коэффициенты углового уравнения прямой BC:

• Координаты B: (12, 4)
• Координаты C: (8, 6)

Наклон прямой BC (k) равен:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (6 - 4) / (8 - 12) = 2 / (-4) = -1/2

Уравнение прямой BC в общем виде: y - y1 = k(x - x1), подставим координаты B:

y - 4 = -1/2(x - 12) => y = -1/2x + 6 + 4 => y = -1/2x + 10

Теперь найдем уравнение высоты, которая перпендикулярна прямой BC. Угол наклона высоты будет равен -1/k:

Угол наклона высоты = 2 (обратное значение наклона BC).

Уравнение высоты через точку A(-10, 0): y - 0 = 2(x + 10) => y = 2x + 20

Теперь найдем точку пересечения высоты с прямой BC:

2x + 20 = -1/2x + 10

Соберем все x в одну сторону:

2.5x = -10 => x = -4

Подставим x = -4 в уравнение высоты:

y = 2(-4) + 20 = 12

Таким образом, точка пересечения высоты и прямой BC: P(-4, 12).

Длина высоты от A до P:

AP = sqrt((-4 - (-10))^2 + (12 - 0)^2) = sqrt(6^2 + 12^2) = sqrt(36 + 144) = sqrt(180) = 6sqrt(5).

3. Уравнение медианы AE:

Медиана AE соединяет вершину A и середину отрезка BC. Сначала найдем середину отрезка BC:

Середина M = ((xB + xC)/2, (yB + yC)/2) = ((12 + 8)/2, (4 + 6)/2) = (10, 5).

Теперь найдем уравнение медианы AE, используя координаты A и M:

Наклон медианы (k) = (yM - yA) / (xM - xA) = (5 - 0) / (10 - (-10)) = 5 / 20 = 1/4.

Уравнение медианы AE: y - 0 = 1/4(x + 10) => y = 1/4x + 2.5.

4. Точка K пересечения медианы AE и высоты BC:

У нас есть уравнение медианы: y = 1/4x + 2.5 и уравнение высоты: y = 2x + 20.

Приравняем их:

1/4x + 2.5 = 2x + 20.

Соберем все x в одну сторону:

1/4x - 2x = 20 - 2.5 => -7/4x = 17.5 => x = -10.

Подставим x = -10 в уравнение медианы:

y = 1/4(-10) + 2.5 = -2.5 + 2.5 = 0.

Точка K(-10, 0) совпадает с точкой A.

5. Уравнение прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB:

Так как прямая должна быть параллельна AB, она будет иметь такой же наклон, как AB:

Наклон AB = 4/22 = 2/11.

Уравнение прямой через K(-10, 0): y - 0 = (2/11)(x + 10).

Упрощая, получаем: y = (2/11)x + 20/11.

Таким образом, мы нашли все необходимые элементы:

• Тангенс угла A: 1/7
• Уравнение высоты BC: y = 2x + 20, длина: 6sqrt(5)
• Уравнение медианы AE: y = 1/4x + 2.5
• Точка K: (-10, 0)
• Уравнение прямой, проходящей через K параллельно AB: y = (2/11)x + 20/11