Даны вершины треугольника А(1, –1), В(–5,2), С(–2,3). Как можно найти:

• уравнение стороны АВ и ее длину;
• уравнение высоты, проведенной через вершину В, и ее длину;
• уравнение медианы, проведенной через вершину С;
• внутренний угол А;
• сделать чертёж?

Математика 11 класс Геометрия треугольника треугольник АВ уравнение стороны АВ длина стороны АВ высота через В уравнение высоты длина высоты медиана через С уравнение медианы внутренний угол А чертеж треугольника Новый

Давайте по шагам решим каждую из поставленных задач, связанных с треугольником ABC с заданными вершинами A(1, -1), B(-5, 2) и C(-2, 3).

1. Уравнение стороны AB и ее длина:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки, используем формулу:

• Коэффициенты углового наклона (m) вычисляются по формуле: m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Подставляем координаты точек A(1, -1) и B(-5, 2):

• m = (2 - (-1)) / (-5 - 1) = (2 + 1) / (-6) = 3 / -6 = -1/2.

Теперь используем уравнение прямой в общем виде: y - y1 = m(x - x1). Подставляем координаты точки A(1, -1):

• y - (-1) = -1/2(x - 1).

Упрощаем уравнение:

• y + 1 = -1/2x + 1/2.
• y = -1/2x + 1/2 - 1.
• y = -1/2x - 1/2.

Таким образом, уравнение стороны AB: y = -1/2x - 1/2.

Теперь найдем длину отрезка AB:

• Длина AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((-5 - 1)² + (2 - (-1))²).
• Длина AB = √((-6)² + (3)²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5.

2. Уравнение высоты, проведенной через вершину B, и ее длина:

Высота из точки B перпендикулярна стороне AC. Сначала найдем уравнение стороны AC.

• Коэффициенты углового наклона для AC: m = (yC - yA) / (xC - xA) = (3 - (-1)) / (-2 - 1) = 4 / -3 = -4/3.

Уравнение прямой AC: y - yA = m(x - xA), подставляем A(1, -1):

• y + 1 = -4/3(x - 1).

Упрощаем:

• y + 1 = -4/3x + 4/3.
• y = -4/3x + 4/3 - 3/3 = -4/3x + 1/3.

Теперь найдем угловой коэффициент для высоты, который равен обратному значению углового коэффициента AC:

• m_высоты = 3/4.

Уравнение высоты из точки B(-5, 2):

• y - 2 = 3/4(x + 5).

Теперь найдем длину высоты. Для этого найдем точку пересечения высоты с прямой AC, решив систему уравнений:

• y = -4/3x + 1/3 (AC)
• y = 3/4(x + 5) + 2 (высота).

Решив эту систему, мы найдем координаты точки пересечения, а затем вычислим длину отрезка BH, где H — точка пересечения.

3. Уравнение медианы, проведенной через вершину C:

Сначала найдем координаты середины отрезка AB:

• M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2) = ((1 - 5)/2, (-1 + 2)/2) = (-2, 0.5).

Теперь найдем угловой коэффициент медианы из точки C(-2, 3) к точке M(-2, 0.5):

• m = (0.5 - 3) / (-2 - (-2)) = -2.5 / 0 = не определено (вертикальная прямая).

Таким образом, уравнение медианы CM будет x = -2.

4. Внутренний угол A:

Для нахождения угла A, воспользуемся формулой косинуса:

• cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc), где a, b и c - длины сторон треугольника.

Мы уже нашли длину стороны AB. Теперь найдем длины AC и BC, используя ту же формулу для расстояния. Затем подставим значения в формулу косинуса.

5. Чертеж:

Для чертежа вам необходимо построить координатную плоскость и отметить точки A, B и C. Затем соедините их отрезками, чтобы получить треугольник. Также отметьте середину отрезка AB и проведите медиану, а также высоту из точки B.

Надеюсь, это поможет вам разобраться с задачей! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.