Похожие вопросы
2025-02-01 21:13:06
Для функции f(x) = cos(x) + sin(x) + 1/sin²(x) как найти первообразную, график которой проходит через точку (π/4; 4)?
Математика 11 класс Интегралы и первообразные функция f(x) первообразная график точка (π/4; 4) cos(x) sin(x) 1/sin²(x) математика 11 класс
2025-02-01 21:13:14
Для нахождения первообразной функции f(x) = cos(x) + sin(x) + 1/sin²(x) мы будем использовать методы интегрирования. Давайте разберем шаги, которые помогут нам найти первообразную и определить константу интегрирования, чтобы график проходил через заданную точку.
Шаг 1: Найдем первообразную функции f(x)Сначала разобьем функцию на части и проинтегрируем каждую из них:
- Первая часть: ∫cos(x) dx = sin(x)
- Вторая часть: ∫sin(x) dx = -cos(x)
- Третья часть: ∫1/sin²(x) dx = -cot(x) (где cot(x) = cos(x)/sin(x))
Теперь можем объединить результаты:
Первообразная F(x):F(x) = sin(x) - cos(x) - cot(x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Шаг 2: Найдем константу C, используя точку (π/4; 4)Теперь нам нужно найти значение C, чтобы F(π/4) = 4.
Подставим x = π/4 в первообразную:
- sin(π/4) = √2/2
- cos(π/4) = √2/2
- cot(π/4) = 1
Теперь подставим эти значения в F(x):
F(π/4) = (√2/2) - (√2/2) - 1 + C = 0 - 1 + C = C - 1
Согласно условию, мы знаем, что F(π/4) = 4:
C - 1 = 4
Решим это уравнение:
C = 4 + 1 = 5
Шаг 3: Запишем окончательную первообразнуюТаким образом, первообразная функции f(x), график которой проходит через точку (π/4; 4), будет:
F(x) = sin(x) - cos(x) - cot(x) + 5Теперь вы можете использовать эту первообразную для дальнейших расчетов или анализа!
