Для функции f(x) = cos(x) + sin(x) + 1/sin²(x) как найти первообразную, график которой проходит через точку (π/4; 4)?

Математика 11 класс Интегралы и первообразные функция f(x) первообразная график точка (π/4; 4) cos(x) sin(x) 1/sin²(x) математика 11 класс Новый

Для нахождения первообразной функции f(x) = cos(x) + sin(x) + 1/sin²(x) мы будем использовать методы интегрирования. Давайте разберем шаги, которые помогут нам найти первообразную и определить константу интегрирования, чтобы график проходил через заданную точку.

Шаг 1: Найдем первообразную функции f(x)

Сначала разобьем функцию на части и проинтегрируем каждую из них:

• Первая часть: ∫cos(x) dx = sin(x)
• Вторая часть: ∫sin(x) dx = -cos(x)
• Третья часть: ∫1/sin²(x) dx = -cot(x) (где cot(x) = cos(x)/sin(x))

Теперь можем объединить результаты:

Первообразная F(x):

F(x) = sin(x) - cos(x) - cot(x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Шаг 2: Найдем константу C, используя точку (π/4; 4)

Теперь нам нужно найти значение C, чтобы F(π/4) = 4.

Подставим x = π/4 в первообразную:

• sin(π/4) = √2/2
• cos(π/4) = √2/2
• cot(π/4) = 1

Теперь подставим эти значения в F(x):

F(π/4) = (√2/2) - (√2/2) - 1 + C = 0 - 1 + C = C - 1

Согласно условию, мы знаем, что F(π/4) = 4:

C - 1 = 4

Решим это уравнение:

C = 4 + 1 = 5

Шаг 3: Запишем окончательную первообразную

Таким образом, первообразная функции f(x), график которой проходит через точку (π/4; 4), будет:

F(x) = sin(x) - cos(x) - cot(x) + 5

Теперь вы можете использовать эту первообразную для дальнейших расчетов или анализа!