Докажите, что если a в степени 50 минус 5 делится на a в степени 7 минус 1, то и a в степени 36 в степени 5 минус 5 делится на a в степени 7 минус 1.

40 баллов

Математика 11 класс Делимость многочленов математика 11 класс делимость степеней доказательство делимости алгебраические выражения свойства степеней Новый

Для начала давайте обозначим:

• A = a^7 - 1
• B = a^50 - 5
• C = a^(36*5) - 5 = a^180 - 5

По условию задачи мы знаем, что B делится на A, то есть существует такое целое число k, что:

B = k * A

Теперь нам нужно показать, что C также делится на A. Для этого рассмотрим выражение C:

C = a^180 - 5

Мы можем выразить a^180 через a^7:

a^180 = (a^7)^25 + R, где R - остаток от деления a^180 на a^7 - 1.

Теперь, используя теорему о делении с остатком, мы можем записать:

a^180 = (a^7 - 1)Q + R, где Q - это некоторый многочлен, а R - остаток.

Так как a^7 - 1 = A, мы можем сказать, что:

C = A * Q + R - 5

Чтобы доказать, что C делится на A, нам нужно показать, что R - 5 делится на A. Заметим, что:

R = a^180 mod (a^7 - 1)

Теперь мы можем использовать условие, что B делится на A:

B = a^50 - 5 = (a^7)^7 + R_1 - 5, где R_1 - остаток от деления.

Так как B делится на A, то R_1 - 5 также должно делиться на A.

Теперь, если мы используем аналогичный подход для C, мы можем утверждать, что:

C = (a^7)^25 + R_2 - 5, где R_2 - остаток от деления.

Итак, если R_1 - 5 делится на A, то и R_2 - 5 также будет делиться на A.

Таким образом, мы приходим к выводу, что если a^50 - 5 делится на a^7 - 1, то и a^180 - 5 также делится на a^7 - 1.

Следовательно, мы доказали, что если a^50 - 5 делится на a^7 - 1, то и a^180 - 5 делится на a^7 - 1.