При каких значениях a и b выражение (х^4+3х^3-2х^2+ax+b)/(x^2-3x+2) делится на (x^2-3x+2) без остатка?

Математика 11 класс Делимость многочленов значения a и b деление без остатка выражение математика дробь математика x^4 + 3x^3 - 2x^2 x^2 - 3x + 2 условия делимости задачи по математике алгебра 11 класс Новый

Чтобы выражение (x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b) делилось на (x^2 - 3x + 2) без остатка, необходимо, чтобы остаток от деления был равен нулю. Для этого сначала найдем корни многочлена (x^2 - 3x + 2).

Корни данного квадратного уравнения можно найти с помощью факторизации:

• Уравнение можно записать как (x - 1)(x - 2) = 0.
• Таким образом, корни: x = 1 и x = 2.

Теперь, чтобы многочлен (x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b) делился на (x^2 - 3x + 2), он должен принимать значение 0 в точках корней. Подставим корни в многочлен:

1. Подставим x = 1:
• Получаем: 1^4 + 3*1^3 - 2*1^2 + a*1 + b = 0
• Это упрощается до: 1 + 3 - 2 + a + b = 0
• Или: a + b + 2 = 0.
2. Теперь подставим x = 2:
• Получаем: 2^4 + 3*2^3 - 2*2^2 + a*2 + b = 0
• Это упрощается до: 16 + 24 - 8 + 2a + b = 0
• Или: 2a + b + 32 = 0.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• 1) a + b + 2 = 0
• 2) 2a + b + 32 = 0

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим b:

• b = -a - 2.

Теперь подставим это значение b во второе уравнение:

• 2a + (-a - 2) + 32 = 0
• Упрощаем: 2a - a - 2 + 32 = 0
• a + 30 = 0
• a = -30.

Теперь подставим найденное значение a в первое уравнение для нахождения b:

• -30 + b + 2 = 0
• b = 30 - 2
• b = 28.

Таким образом, значения a и b, при которых выражение (x^4 + 3x^3 - 2x^2 + ax + b) делится на (x^2 - 3x + 2) без остатка, равны:

• a = -30
• b = 28