Давайте поочередно рассмотрим каждое из неравенств и попробуем их доказать.

Для начала преобразуем обе стороны неравенства так, чтобы сравнить их более удобно. Мы можем выразить 4 и 3 через степени 2:

• 4 = 2², тогда 4⁷⁹ = (2²)⁷⁹ = 2¹⁵⁸;
• 3 = 3¹, тогда 3¹⁰⁰ = 3¹⁰⁰.

Теперь сравним 2¹⁵⁸ и 3¹⁰⁰. Для этого возьмем логарифм обеих сторон:

log(2¹⁵⁸) < log(3¹⁰⁰)

Это можно упростить:

• 158 * log(2) < 100 * log(3).

Теперь нам нужно проверить, выполняется ли это неравенство. Посчитаем значения логарифмов:

• log(2) ≈ 0.301;
• log(3) ≈ 0.477.

Подставим значения:

• 158 * 0.301 ≈ 47.558;
• 100 * 0.477 = 47.7.

Сравниваем: 47.558 < 47.7. Значит, неравенство 4⁷⁹ < 3¹⁰⁰ верно.

Сначала преобразуем обе стороны неравенства:

• 25 = 5², тогда 25⁴⁰ = (5²)⁴⁰ = 5⁸⁰;
• 35 = 5 * 7, тогда 35³¹ = (5 * 7)³¹ = 5³¹ * 7³¹.

Теперь сравним 5⁸⁰ и 5³¹ * 7³¹. Для этого можно разделить обе стороны на 5³¹ (при этом неравенство сохранит знак, так как 5³¹ > 0):

5⁴⁹ > 7³¹.

Теперь возьмем логарифм обеих сторон:

log(5⁴⁹) > log(7³¹)

Это можно упростить:

• 49 * log(5) > 31 * log(7).

Теперь подставим значения логарифмов:

• log(5) ≈ 0.699;
• log(7) ≈ 0.845.

Вычислим:

• 49 * 0.699 ≈ 34.251;
• 31 * 0.845 ≈ 26.195.

Сравниваем: 34.251 > 26.195. Значит, неравенство 25⁴⁰ > 35³¹ верно.

Сравним 31¹¹ и 17¹⁴. Возьмем логарифм обеих сторон:

log(31¹¹) < log(17¹⁴)

Это можно упростить:

• 11 * log(31) < 14 * log(17).

Теперь подставим значения логарифмов:

• log(31) ≈ 1.491;
• log(17) ≈ 1.230.

Вычислим:

• 11 * 1.491 ≈ 16.401;
• 14 * 1.230 ≈ 17.220.

Сравниваем: 16.401 < 17.220. Значит, неравенство 31¹¹ < 17¹⁴ верно.

Таким образом, все три неравенства доказаны:

• 4⁷⁹ < 3¹⁰⁰;
• 25⁴⁰ > 35³¹;
• 31¹¹ < 17¹⁴.