Исследование функции с помощью производной включает в себя несколько шагов. Рассмотрим функцию:

y = 4 - 2x - 7x^2

Для начала нам нужно найти производную этой функции. Производная показывает, как меняется функция при изменении переменной x. Давайте найдем производную y по x.

1. Запишем функцию: y = 4 - 2x - 7x^2.
2. Найдем производную y'. Используем правила дифференцирования:
• Производная константы (4) равна 0.
• Производная -2x равна -2.
• Производная -7x^2 равна -14x (по правилу, производная x^n = n*x^(n-1)).
3. Таким образом, производная функции будет:
y' = -2 - 14x

Теперь, когда мы нашли производную, мы можем исследовать функцию на экстремумы и точки перегиба.

1. Для нахождения критических точек, приравняем производную к нулю:
-2 - 14x = 0
2. Решим это уравнение:
• 14x = -2
• x = -2/14 = -1/7.
3. Теперь у нас есть одна критическая точка: x = -1/7.

Следующий шаг - определить, является ли эта точка минимумом или максимумом. Для этого мы можем использовать второй производный тест.

1. Найдем вторую производную функции:
y'' = -14
2. Поскольку вторая производная отрицательна (y'' < 0), это означает, что функция имеет максимум в точке x = -1/7.

Теперь мы можем найти значение функции в этой точке:

1. Подставим x = -1/7 в исходную функцию:
y(-1/7) = 4 - 2(-1/7) - 7(-1/7)^2
2. Вычисляем:
• y(-1/7) = 4 + 2/7 - 7*(1/49) = 4 + 2/7 - 1/7 = 4 + 1/7 = 29/7.

Таким образом, мы нашли, что функция имеет максимум в точке x = -1/7, и значение функции в этой точке равно 29/7.

В заключение, исследуя функцию y = 4 - 2x - 7x^2 с помощью производной, мы определили критическую точку и установили, что это максимум. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!