Как можно непосредственно используя определение предела последовательности доказать, что lim (n стремится к бесконечности) 8-3n/3n+2=-1?

Математика 11 класс Пределы последовательностей определение предела последовательности предел последовательности доказательство предела ограничение последовательности математический анализ предел при n стремится к бесконечности Новый

Чтобы доказать, что предел последовательности a_n = (8 - 3n) / (3n + 2) равен -1, воспользуемся определением предела последовательности. Согласно этому определению, мы должны показать, что для любого положительного числа ε существует натуральное число N такое, что для всех n > N выполняется неравенство |a_n - L| < ε, где L - это предел, равный -1.

1. Запишем выражение для a_n:

a_n = (8 - 3n) / (3n + 2)

2. Найдем |a_n + 1|:

|a_n + 1| = |(8 - 3n) / (3n + 2) + 1| = |(8 - 3n + 3n + 2) / (3n + 2)| = |(10) / (3n + 2)|

3. Теперь упростим это выражение:

|a_n + 1| = 10 / (3n + 2)

4. Мы хотим, чтобы |a_n + 1| < ε. Это означает:

10 / (3n + 2) < ε

5. Умножим обе стороны неравенства на (3n + 2) (что положительно для больших n):

10 < ε(3n + 2)

6. Перепишем неравенство:

10/ε < 3n + 2

7. Теперь выразим n:

3n > 10/ε - 2

n > (10/ε - 2) / 3

8. Обозначим правую часть как N:

N = (10/ε - 2) / 3

9. Таким образом, для любого ε > 0 мы можем выбрать N таким образом, чтобы для всех n > N выполнялось неравенство |a_n + 1| < ε.

10. Мы доказали, что lim (n стремится к бесконечности) a_n = -1.

Таким образом, мы пришли к выводу, что предел последовательности a_n равен -1, что и требовалось доказать.