Как можно, используя определение предела последовательности, доказать, что lim (n стремится к бесконечности) 8-3n/3n+2=-1?

Математика 11 класс Пределы последовательностей предел последовательности доказательство предела лимит последовательности математика предел при n стремящемся к бесконечности Новый

Чтобы доказать, что lim (n стремится к бесконечности) (8 - 3n) / (3n + 2) = -1, используем определение предела последовательности:

1. Для любого ε > 0 найдём N, такое что для всех n > N выполняется |(8 - 3n) / (3n + 2) + 1| < ε.
2. Упростим выражение:
• (8 - 3n) / (3n + 2) + 1 = (8 - 3n + 3n + 2) / (3n + 2) = 10 / (3n + 2).
3. Теперь нужно показать, что |10 / (3n + 2)| < ε.
4. Это равносильно 10 < ε(3n + 2), что можно переписать как n > (10/ε - 2)/3.
5. Выбираем N = ceil((10/ε - 2)/3), чтобы удовлетворить неравенству.

Таким образом, для любого ε > 0 существует такое N, что для всех n > N выполняется |(8 - 3n) / (3n + 2) + 1| < ε. Это и доказывает, что лимит равен -1.