Давайте рассмотрим каждый из пределов по отдельности и подробно объясним шаги решения.

а) limₙ→[бесконечность] ((n+2)³ + (n-2)³) / (n⁴ + 2n² - 1)

1. Раскроем скобки в числителе:
   • (n+2)³ = n³ + 6n² + 12n + 8
   • (n-2)³ = n³ - 6n² + 12n - 8
2. Сложим: (n³ + 6n² + 12n + 8) + (n³ - 6n² + 12n - 8) = 2n³ + 24n.
3. Теперь числитель: 2n³ + 24n.
4. В знаменателе n⁴ + 2n² - 1. Находим предел:
   • Числитель и знаменатель делим на n⁴: (2/n + 24/n³) / (1 + 2/n² - 1/n⁴).
5. При n стремящемся к бесконечности, все члены с n в знаменателе стремятся к 0. Получаем: 0/1 = 0.

б) limₙ→[бесконечность] (3n² - 4n + 8) / (4n² + 5n - 9)

1. Делим числитель и знаменатель на n²: (3 - 4/n + 8/n²) / (4 + 5/n - 9/n²).
2. При n стремящемся к бесконечности, все члены с n в знаменателе стремятся к 0. Получаем: 3/4.
3. Однако, если мы смотрим на выражение, то оно не имеет верхнего предела, так как числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, но числитель больше, поэтому предел равен бесконечности.

в) limₙ→[бесконечность] (n! + (n+2)!) / ((n-1)! + (n+2)!)

1. Заметим, что (n+2)! = (n+2)(n+1)n!. Поделим числитель и знаменатель на (n+2)!:
   • (n!/((n+2)!)) + 1 / (((n-1)!/(n+2)!)) + 1 = (1/n(n+1)) + 1 / (1/n(n+1)(n+2)) + 1.
2. При n стремящемся к бесконечности, все члены с n в знаменателе стремятся к 0. Получаем: 1/1 = 1.

г) limₙ→[бесконечность] (3 + 6 + 9 + ... + 3n) / (n² + 4)

1. Сумма 3 + 6 + 9 + ... + 3n равна 3(1 + 2 + 3 + ... + n) = 3(n(n+1)/2) = (3n² + 3n)/2.
2. Теперь предел: ((3n² + 3n)/2) / (n² + 4).
3. Делим числитель и знаменатель на n²: (3 + 3/n)/ (1 + 4/n²).
4. При n стремящемся к бесконечности, все члены с n в знаменателе стремятся к 0. Получаем: 3/1 = 3/2.

д) limₙ→[бесконечность] (2ⁿ + 7ⁿ) / (2ⁿ - 7ⁿ⁻¹)

1. В числителе 7ⁿ доминирует, поэтому можем упростить: (7ⁿ(2ⁿ/7ⁿ + 1)) / (2ⁿ - 7ⁿ⁻¹).
2. В знаменателе 2ⁿ также можно упростить: 2ⁿ(1 - 7⁻¹/2ⁿ).
3. Теперь предел: 7ⁿ(2ⁿ/7ⁿ + 1) / 2ⁿ(1 - 7⁻¹/2ⁿ).
4. При n стремящемся к бесконечности, получаем: (1 + 1) / (1 - 0) = -7.

е) limₙ→[бесконечность] √n (√(n+2) - √(n-3))

1. Упростим выражение внутри предела: √(n+2) - √(n-3) = (√(n+2) - √(n-3))(√(n+2) + √(n-3)) / (√(n+2) + √(n-3)).
2. Получаем: (n+2 - (n-3)) / (√(n+2) + √(n-3)) = (5) / (√(n+2) + √(n-3)).
3. Теперь предел: √n * (5 / (√(n+2) + √(n-3))).
4. Делим на √n: 5√n / (√(n+2) + √(n-3)).
5. При n стремящемся к бесконечности: 5 / (1 + 1) = 5/2.

Таким образом, мы нашли все пределы, как и требовалось.