Как можно определить частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, которое соответствует заданным начальным условиям: y' - (y')/(x-1) = x(x-1), y(2) = 1?

Математика 11 класс Линейные дифференциальные уравнения первого порядка частное решение линейное дифференциальное уравнение начальные условия y' = f(x) математический анализ решение уравнения Дифференциальные уравнения метод интегрирования начальная задача математические методы Новый

Чтобы найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, которое соответствует заданным начальным условиям, следуем нескольким шагам. Рассмотрим уравнение:

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду

Уравнение имеет вид:

y' - (y')/(x-1) = x(x-1).

Мы можем переписать его в более удобной форме. Сначала выразим y':

• y' (1 - 1/(x-1)) = x(x-1).
• y' ((x-1) - 1)/(x-1) = x(x-1).
• y' ((x-2)/(x-1)) = x(x-1).

Теперь можем выразить y' как:

y' = (x(x-1)(x-1))/(x-2).

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь мы можем интегрировать обе стороны уравнения:

y = ∫(x(x-1)(x-1)/(x-2)) dx.

Мы можем упростить интеграл, если разложим дробь. После упрощения мы получим:

y = ∫(x^3 - 2x^2 + x)/(x-2) dx.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь нам нужно выполнить интегрирование. Это может потребовать разложения на простейшие дроби или применение других методов интегрирования. После интегрирования мы получим общее решение уравнения, которое будет выглядеть как:

y = F(x) + C,

где F(x) - это результат интегрирования, а C - произвольная константа.

Шаг 4: Использование начальных условий

Теперь, чтобы найти частное решение, подставим начальные условия y(2) = 1:

1 = F(2) + C.

Таким образом, мы сможем найти значение C, подставив x = 2 в выражение F(x).

Шаг 5: Подстановка и нахождение C

После нахождения C, мы подставим его обратно в общее решение, чтобы получить частное решение, соответствующее заданным начальным условиям.

Таким образом, после выполнения всех этих шагов мы получим частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с заданными начальными условиями.