Как можно определить общее решение линейного дифференциального уравнения x(х-1)y'=3x-2xy+1?

Математика 11 класс Линейные дифференциальные уравнения первого порядка линейное дифференциальное уравнение общее решение математика 11 класс метод решения Дифференциальные уравнения Новый

Чтобы найти общее решение линейного дифференциального уравнения вида x(x-1)y' = 3x - 2xy + 1, мы сначала упростим его и приведем к стандартному виду.

1. **Перепишем уравнение**. Мы можем разделить обе стороны уравнения на x(x-1), при условии, что x ≠ 0 и x ≠ 1:

y' = (3x - 2xy + 1) / (x(x-1))

2. **Упростим правую часть**. Разделим каждое слагаемое в числителе на x(x-1):

y' = (3x)/(x(x-1)) - (2xy)/(x(x-1)) + 1/(x(x-1))

Это можно упростить до:

y' = (3/(x-1)) - (2y)/(x-1) + 1/(x(x-1))

3. **Перепишем уравнение в стандартной форме**. Мы можем объединить термины и получить:

y' + (2/(x-1))y = (3/(x-1)) + (1/(x(x-1)))

Теперь у нас есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:

y' + P(x)y = Q(x),

где P(x) = 2/(x-1) и Q(x) = (3/(x-1)) + (1/(x(x-1))).

4. **Найдем интегрирующий множитель**. Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле:

μ(x) = e^(∫P(x)dx) = e^(∫(2/(x-1))dx).

Интеграл ∫(2/(x-1))dx равен 2ln|x-1|. Таким образом:

μ(x) = e^(2ln|x-1|) = |x-1|^2.

5. **Умножим уравнение на интегрирующий множитель**:

|x-1|^2y' + |x-1|^2(2/(x-1))y = |x-1|^2Q(x).

6. **Запишем левую часть как производную**:

d/dx(|x-1|^2y) = |x-1|^2Q(x).

7. **Интегрируем обе стороны**. После интегрирования мы получим:

|x-1|^2y = ∫|x-1|^2Q(x)dx + C,

где C - произвольная постоянная.

8. **Решим для y**. После нахождения интеграла и подстановки значения C, мы можем выразить y и получить общее решение уравнения.

Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения x(x-1)y' = 3x - 2xy + 1 можно найти, следуя этим шагам.