Как можно определить экстремумы функции f(х)=-1/3x³ +25x+5?

Математика 11 класс Экстремумы функции экстремумы функции определение экстремумов f(х)=-1/3x³ +25x+5 математика 11 класс анализ функций Новый

Чтобы определить экстремумы функции f(x) = -1/3x³ + 25x + 5, необходимо выполнить несколько шагов. Экстремумы функции — это точки, в которых функция достигает своих локальных максимумов или минимумов. Для этого нам нужно найти производную функции и решить уравнение, приравняв производную к нулю. Рассмотрим процесс более подробно.

1. Найти производную функции. Производная функции f(x) обозначается как f'(x). Мы применяем правила дифференцирования:
• Производная от -1/3x³ равна -x².
• Производная от 25x равна 25.
• Производная от константы 5 равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

f'(x) = -x² + 25.

2. Приравнять производную к нулю. Чтобы найти критические точки, приравняем f'(x) к нулю:

-x² + 25 = 0.

3. Решить уравнение. Переносим x² на правую сторону:

x² = 25.

Теперь находим корни:

• x = 5,
• x = -5.
4. Определить, являются ли найденные точки экстремумами. Для этого используем второй производный тест:
• Находим вторую производную функции f(x):

f''(x) = -2x.

• Теперь подставим найденные значения x:
• f''(5) = -2 * 5 = -10 (меньше 0, значит, x = 5 — локальный максимум).
• f''(-5) = -2 * (-5) = 10 (больше 0, значит, x = -5 — локальный минимум).
5. Записать результаты. Таким образом, мы определили, что:
• x = 5 — это локальный максимум функции,
• x = -5 — это локальный минимум функции.

Таким образом, мы нашли экстремумы функции f(x) = -1/3x³ + 25x + 5, используя производные и анализируя их знаки.