Как найти наибольшие и наименьшие значения функции f(x) = 3^(x^(2) - 2x - 1) на интервале [-2; 0]?

Математика 11 класс Экстремумы функции наибольшие значения функции наименьшие значения функции f(x) = 3^(x^2 - 2x - 1) интервал [-2; 0] математика 11 класс Новый

Чтобы найти наибольшие и наименьшие значения функции f(x) = 3^(x^(2) - 2x - 1) на интервале [-2; 0], нам нужно выполнить несколько шагов:

1. Определить область определения функции.

   Функция f(x) является показательной, и она определена для всех значений x. Таким образом, мы можем работать с интервалом [-2; 0].

2. Найти производную функции.

   Для нахождения экстремумов функции, нам нужно найти её производную. Используем правило дифференцирования показательной функции:

   f'(x) = 3^(g(x)) * ln(3) * g'(x),

   где g(x) = x^(2) - 2x - 1.

   Теперь найдем производную g(x):

   g'(x) = 2x - 2.

   Таким образом, f'(x) = 3^(x^(2) - 2x - 1) * ln(3) * (2x - 2).

3. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Мы решим уравнение:

   2x - 2 = 0.

   Решая это уравнение, получаем:

   x = 1.

   Однако, x = 1 не входит в наш интервал [-2; 0]. Поэтому мы будем проверять только концы интервала.

4. Вычислить значения функции на концах интервала.

   Теперь нужно подставить границы интервала в функцию f(x):

   • f(-2) = 3^((-2)^(2) - 2*(-2) - 1) = 3^(4 + 4 - 1) = 3^7.
   • f(0) = 3^(0^(2) - 2*0 - 1) = 3^(-1) = 1/3.
5. Сравнить значения.

   Теперь сравним полученные значения:

   • f(-2) = 3^7 = 2187.
   • f(0) = 1/3.

   Наибольшее значение функции на интервале [-2; 0] равно 2187, а наименьшее значение равно 1/3.

Ответ: Наибольшее значение функции f(x) на интервале [-2; 0] равно 2187, наименьшее значение равно 1/3.