Как можно определить уравнение касательной к графику функции y=0,5x^2-0,5x+1 в точке x0=8?

Математика 11 класс Уравнения касательных и норм к графикам функций Уравнение касательной график функции точка x0=8 производная функции математика 11 класс нахождение касательной анализ функции Новый

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² - 0,5x + 1 в точке x0 = 8, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найти значение функции в точке x0.

   Сначала подставим x0 = 8 в уравнение функции:

   y(8) = 0,5 * (8)² - 0,5 * (8) + 1.

   Вычислим:

   • (8)² = 64, следовательно, 0,5 * 64 = 32;
   • -0,5 * 8 = -4;
   • Теперь подставим все значения: 32 - 4 + 1 = 29.

   Таким образом, y(8) = 29, и точка касания будет (8, 29).

2. Найти производную функции.

   Теперь найдем производную функции y = 0,5x² - 0,5x + 1:

   y' = d/dx(0,5x²) - d/dx(0,5x) + d/dx(1).

   Вычислим производные:

   • d/dx(0,5x²) = 0,5 * 2x = x;
   • d/dx(0,5x) = 0,5;
   • d/dx(1) = 0.

   Таким образом, производная функции:

   y' = x - 0,5.

3. Найти значение производной в точке x0.

   Теперь подставим x0 = 8 в производную:

   y'(8) = 8 - 0,5 = 7,5.

   Это значение производной в точке x0 = 8, и оно равно угловому коэффициенту касательной.

4. Записать уравнение касательной.

   Уравнение касательной можно записать в виде:

   y - y0 = k(x - x0),

   где (x0, y0) - точка касания, а k - угловой коэффициент.

   Подставим найденные значения:

   y - 29 = 7,5(x - 8).

   Теперь упростим это уравнение:

   • y - 29 = 7,5x - 60;
   • y = 7,5x - 60 + 29;
   • y = 7,5x - 31.

Итак, уравнение касательной к графику функции y = 0,5x² - 0,5x + 1 в точке x0 = 8 имеет вид:

y = 7,5x - 31.