Как можно провести исследование функции на экстремум z=2xy-3x^2-2y^2+10?

Математика 11 класс Исследование функций на экстремум исследование функции экстремум функции математика 11 класс z=2xy-3x^2-2y^2+10 нахождение экстремумов Новый

Для исследования функции z = 2xy - 3x² - 2y² + 10 на экстремумы, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти частные производные:

   Сначала найдем частные производные функции z по переменным x и y.

   • Частная производная по x:

   ∂z/∂x = 2y - 6x

   • Частная производная по y:

   ∂z/∂y = 2x - 4y

2. Найти критические точки:

   Для этого необходимо приравнять частные производные к нулю:

   • 2y - 6x = 0
   • 2x - 4y = 0

   Теперь решим систему уравнений:

   1. Из первого уравнения выразим y:

   y = 3x

   2. Подставим это выражение во второе уравнение:

   2x - 4(3x) = 0

   2x - 12x = 0

   -10x = 0

   Это дает x = 0.

   3. Теперь найдем y, подставив x = 0 в уравнение y = 3x:

   y = 3(0) = 0.

   Таким образом, у нас есть одна критическая точка (0, 0).

   4. Определить характер критической точки:

      Для этого используем вторые производные:

      • ∂²z/∂x² = -6
      • ∂²z/∂y² = -4
      • ∂²z/∂x∂y = 2

      Теперь вычислим дискриминант D:

      D = ∂²z/∂x² * ∂²z/∂y² - (∂²z/∂x∂y)² = (-6)(-4) - (2)² = 24 - 4 = 20.

      Так как D > 0 и ∂²z/∂x² < 0, это означает, что в точке (0, 0) находится максимум функции z.

   5. Подведение итогов:

      Таким образом, функция z = 2xy - 3x² - 2y² + 10 имеет максимум в точке (0, 0).

   1 2 3 4 5