Как провести исследование на экстремум функции y = x^3 / (x - 4)?

Математика 11 класс Исследование функций на экстремум исследование экстремумов функция y = x^3 / (x - 4) математика 11 класс анализ функции производная функции Новый

Для того чтобы провести исследование на экстремум функции y = x^3 / (x - 4), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте подробно рассмотрим каждый из них.

1. Определение области определения функции.

   Функция y = x^3 / (x - 4) будет определена при всех значениях x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. То есть, мы должны решить уравнение:

   x - 4 = 0

   Отсюда x = 4. Таким образом, область определения функции:

   x ∈ (-∞, 4) ∪ (4, +∞)

2. Нахождение производной функции.

   Для нахождения экстремумов нам нужно вычислить первую производную функции. Используем правило деления:

   y' = (u/v)' = (u'v - uv') / v^2,

   где u = x^3, v = x - 4.

   Теперь найдем производные u и v:

   • u' = 3x^2
   • v' = 1

   Теперь подставим в формулу:

   y' = (3x^2 * (x - 4) - x^3 * 1) / (x - 4)^2

   Упрощаем числитель:

   y' = (3x^3 - 12x^2 - x^3) / (x - 4)^2 = (2x^3 - 12x^2) / (x - 4)^2

   y' = 2x^2(x - 6) / (x - 4)^2

3. Нахождение критических точек.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Рассмотрим уравнение:

   2x^2(x - 6) = 0

   Это уравнение равно нулю, когда:

   • 2x^2 = 0, что дает x = 0;
   • x - 6 = 0, что дает x = 6.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 6.

4. Анализ знака производной.

   Теперь нужно определить, в каких интервалах производная положительна, а в каких отрицательна. Рассмотрим промежутки:

   • x < 0
   • 0 < x < 4
   • 4 < x < 6
   • x > 6

   Теперь подставим значения из каждого интервала в производную:

   • Для x < 0, например x = -1: y' = 2(-1)^2(-1 - 6) < 0 (производная отрицательна)
   • Для 0 < x < 4, например x = 1: y' = 2(1)^2(1 - 6) < 0 (производная отрицательна)
   • Для 4 < x < 6, например x = 5: y' = 2(5)^2(5 - 6) < 0 (производная отрицательна)
   • Для x > 6, например x = 7: y' = 2(7)^2(7 - 6) > 0 (производная положительна)

   Таким образом, мы видим, что функция убывает на интервалах (-∞, 4) и (4, 6), и возрастает на интервале (6, +∞).

5. Определение экстремумов.

   Из анализа знака производной мы можем сделать вывод:

   • В точке x = 0 - минимум (производная меняет знак с отрицательного на положительный);
   • В точке x = 6 - максимум (производная меняет знак с положительного на отрицательный).
6. Нахождение значений функции в критических точках.

   Теперь найдем значения функции в критических точках:

   • y(0) = 0^3 / (0 - 4) = 0;
   • y(6) = 6^3 / (6 - 4) = 216 / 2 = 108.
7. Подведение итогов.

   Таким образом, мы исследовали функцию y = x^3 / (x - 4) и нашли:

   • Минимум в точке (0, 0);
   • Максимум в точке (6, 108);
   • Область определения: x ∈ (-∞, 4) ∪ (4, +∞).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!