Как можно решить логарифмические уравнения и неравенства?

1. Log5(3x-8)=log5(x+2)
2. log2(x+1)+log2(x-1)=3
3. log2(5x-9)≤log2(3x+1)
4. log(1/2)(2x+1)>-2
5. log(1/3)x+log(1/3)(4-x)>-1

Математика 11 класс Логарифмические уравнения и неравенства логарифмические уравнения решение логарифмических неравенств методы решения логарифмов примеры логарифмических уравнений математические логарифмы Новый

Решение логарифмических уравнений и неравенств требует понимания свойств логарифмов и умения преобразовывать их. Давайте рассмотрим предложенные вами примеры по порядку.

1. Уравнение: log5(3x-8) = log5(x+2)

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся свойством логарифмов: если log_a(b) = log_a(c), то b = c (при условии, что a > 0 и a ≠ 1).

1. Приравниваем аргументы: 3x - 8 = x + 2.
2. Переносим все члены на одну сторону: 3x - x - 8 - 2 = 0.
3. Упрощаем: 2x - 10 = 0.
4. Решаем: 2x = 10, x = 5.

Проверяем, чтобы аргументы логарифмов были положительными:

• 3*5 - 8 = 15 - 8 = 7 > 0;
• 5 + 2 = 7 > 0.

Ответ: x = 5.

2. Уравнение: log2(x+1) + log2(x-1) = 3

Сначала используем свойство логарифмов: log_a(b) + log_a(c) = log_a(b*c).

1. Объединяем логарифмы: log2((x+1)(x-1)) = 3.
2. Переписываем в экспоненциальной форме: (x+1)(x-1) = 2^3.
3. Упрощаем: (x^2 - 1) = 8.
4. Переносим: x^2 - 9 = 0.
5. Факторизуем: (x - 3)(x + 3) = 0.
6. Находим корни: x = 3 и x = -3.

Проверяем условия:

• x = 3: log2(4) + log2(2) = 2 + 1 = 3;
• x = -3: log2(-2) не определен.

Ответ: x = 3.

3. Неравенство: log2(5x-9) ≤ log2(3x+1)

Сначала приравняем аргументы, учитывая, что логарифмы определены только для положительных значений:

1. 5x - 9 ≤ 3x + 1.
2. Переносим: 5x - 3x ≤ 1 + 9.
3. Упрощаем: 2x ≤ 10, x ≤ 5.

Теперь проверим условия:

• 5x - 9 > 0: x > 9/5;
• 3x + 1 > 0: x > -1/3.

Объединяем условия: 9/5 < x ≤ 5.

Ответ: 9/5 < x ≤ 5.

4. Неравенство: log(1/2)(2x+1) > -2

Переписываем неравенство в экспоненциальной форме:

1. (2x + 1) < (1/2)^(-2).
2. (1/2)^(-2) = 2^2 = 4.
3. Получаем: 2x + 1 < 4.
4. Решаем: 2x < 3, x < 3/2.

Проверяем условие: 2x + 1 > 0, x > -1/2.

Ответ: -1/2 < x < 3/2.

5. Неравенство: log(1/3)x + log(1/3)(4-x) > -1

Объединяем логарифмы:

1. log(1/3)(x(4-x)) > -1.
2. Переписываем: x(4-x) < (1/3)^(-1) = 3.

Решаем неравенство:

1. 4x - x^2 < 3.
2. Переносим: -x^2 + 4x - 3 < 0.
3. Умножаем на -1 (изменяем знак): x^2 - 4x + 3 > 0.
4. Факторизуем: (x - 1)(x - 3) > 0.

Находим интервалы: x < 1 или x > 3.

Проверяем условия: x > 0 и 4 - x > 0 (т.е. x < 4).

Таким образом, окончательный ответ: 0 < x < 1 или 3 < x < 4.

Таким образом, мы разобрали, как решать логарифмические уравнения и неравенства. Надеюсь, это поможет вам в дальнейших изучениях!