При каких значениях параметра a уравнение

log _{x} 3 + (a ^{2} - 4) * log_{3x} (1/3) - 3 = 0

имеет ровно два различных корня, расстояние между которыми больше 8?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения и неравенства уравнение с параметром a Логарифмическое уравнение два различных корня расстояние между корнями математика 11 класс Новый

Для решения уравнения log_x 3 + (a^2 - 4) * log_{3x} (1/3) - 3 = 0 начнем с упрощения данной записи.

Прежде всего, вспомним, что log_{3x} (1/3) можно выразить через log_x:

• log_{3x} (1/3) = log_{3} (1/3) / log_{3x} = -1 / (log_{3} (3) + log_{3} (x)) = -1 / (1 + log_{3} (x))

Теперь подставим это в уравнение:

log_x 3 - (a^2 - 4) / (1 + log_{3} (x)) - 3 = 0

Теперь мы можем обозначить log_x 3 = y, тогда уравнение становится:

y - (a^2 - 4) / (1 + log_{3} (x)) - 3 = 0

Теперь выразим log_{3} (x) через y:

• log_{3} (x) = 1/y

Подставим это значение в уравнение:

y - (a^2 - 4) / (1 + 1/y) - 3 = 0

Упростим уравнение:

y - (a^2 - 4) * y / (y + 1) - 3 = 0

Теперь умножим всё уравнение на (y + 1), чтобы избавиться от дробей:

(y)(y + 1) - (a^2 - 4)(y) - 3(y + 1) = 0

Раскроем скобки:

y^2 + y - (a^2 - 4)y - 3y - 3 = 0

Соберем подобные:

y^2 + (1 - a^2 + 4 - 3)y - 3 = 0

Это квадратное уравнение:

y^2 + (5 - a^2)y - 3 = 0

Теперь найдем дискриминант этого уравнения:

D = (5 - a^2)^2 - 4 * 1 * (-3) = (5 - a^2)^2 + 12

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы D > 0:

(5 - a^2)^2 + 12 > 0

Это неравенство всегда выполняется, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, а добавление 12 делает его положительным.

Теперь нам нужно, чтобы расстояние между корнями было больше 8. Для этого используем формулу для расстояния между корнями:

Расстояние = sqrt(D) / a, где a - коэффициент при y^2 (в нашем случае это 1).

Таким образом, расстояние между корнями:

sqrt(D) > 8

Теперь подставим D:

sqrt((5 - a^2)^2 + 12) > 8

Возведем обе стороны в квадрат:

(5 - a^2)^2 + 12 > 64

Упростим неравенство:

(5 - a^2)^2 > 52

Теперь извлечем корень:

|5 - a^2| > sqrt(52) = 2 * sqrt(13)

Это дает два случая:

1. 5 - a^2 > 2 * sqrt(13)
2. 5 - a^2 < -2 * sqrt(13)

Решим первый случай:

5 - 2 * sqrt(13) > a^2

Решим второй случай:

5 + 2 * sqrt(13) < a^2

Таким образом, у нас есть два промежутка для значений параметра a:

• a^2 < 5 - 2 * sqrt(13)
• a^2 > 5 + 2 * sqrt(13)

Теперь находим численные значения:

sqrt(13) примерно равно 3.605, тогда:

5 - 2 * sqrt(13) примерно равно 5 - 7.21 = -2.21 (первый случай не имеет решения, так как a^2 не может быть отрицательным).

5 + 2 * sqrt(13) примерно равно 5 + 7.21 = 12.21, значит:

a^2 > 12.21, следовательно, a > sqrt(12.21) или a < -sqrt(12.21).

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня, расстояние между которыми больше 8, при значениях параметра a:

• a > sqrt(12.21) или
• a < -sqrt(12.21).