Для решения уравнения |x² - 2x - 1| = x - 1, давайте рассмотрим два случая, так как у нас есть модуль. Модуль выражения может принимать два значения: положительное и отрицательное.

В этом случае модуль можно убрать, и уравнение примет вид:

x² - 2x - 1 = x - 1

• x² - 2x - 1 - x + 1 = 0
• x² - 3x = 0

x(x - 3) = 0

• x = 0
• x - 3 = 0, следовательно, x = 3

• Для x = 0: x² - 2x - 1 = 0 - 0 - 1 = -1 (не подходит, так как -1 < 0)
• Для x = 3: x² - 2x - 1 = 9 - 6 - 1 = 2 (подходит, так как 2 ≥ 0)

В этом случае модуль меняет знак, и уравнение будет выглядеть так:

-(x² - 2x - 1) = x - 1

-x² + 2x + 1 = x - 1

• -x² + 2x + 1 - x + 1 = 0
• -x² + x + 2 = 0

x² - x - 2 = 0

• Используем формулу корней квадратного уравнения: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• В нашем случае a = 1, b = -1, c = -2: x = (1 ± √((-1)² - 4*1*(-2))) / (2*1)
• Это будет x = (1 ± √(1 + 8)) / 2 = (1 ± √9) / 2 = (1 ± 3) / 2
• Таким образом, корни: x = 2 и x = -1

• Для x = -1: x² - 2x - 1 = 1 + 2 - 1 = 2 (не подходит, так как 2 ≥ 0)
• Для x = 2: x² - 2x - 1 = 4 - 4 - 1 = -1 (подходит, так как -1 < 0)

Решения уравнения |x² - 2x - 1| = x - 1: x = 3 и x = 2.