Чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать формулу для объема пирамиды:

Объем V пирамиды равен:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания пирамиды, а h - высота.

В данной задаче основание пирамиды - это треугольник ABC, а вершина - точка S. Давайте сначала найдем площадь основания треугольника ABC.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

• Длина стороны AB:

AB = √((6 - 1)² + (1 - 6)² + (1 - 1)²) = √(5² + (-5)²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

• Длина стороны AC:

AC = √((6 - 1)² + (1 - 1)² + (6 - 1)²) = √(5² + 0² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

• Длина стороны BC:

BC = √((1 - 1)² + (6 - 1)² + (6 - 1)²) = √(0² + 5² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

Таким образом, все стороны треугольника ABC равны, и он является равносторонним.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

S = (√3 / 4) * a²,

где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае a = 5√2:

S = (√3 / 4) * (5√2)² = (√3 / 4) * 50 = (√3 * 50) / 4 = 12.5√3.

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды.

Высота h пирамиды - это расстояние от точки S до плоскости, содержащей треугольник ABC. Поскольку все точки A, B и C имеют координаты z = 1, плоскость, содержащая треугольник ABC, имеет уравнение z = 1.

Таким образом, высота h равна разности координат z точки S и плоскости:

h = 1 - 1 = 0.

Шаг 4: Подставим значения в формулу объема.

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (12.5√3) * 0 = 0.

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды равен 0, так как все точки основания и вершина находятся на одной плоскости. Пирамида не имеет объема.