Как можно вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если ее вершины расположены в точках S(1;1;1), A(6;1;1), B(1;6;1) и C(1;1;6)?

Математика 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды объём пирамиды правильная треугольная пирамида вычисление объёма координаты вершин формула объёма пирамиды Новый

Чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать формулу для объема пирамиды:

Объем V пирамиды равен:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания пирамиды, а h - высота.

В данной задаче основание пирамиды - это треугольник ABC, а вершина - точка S. Давайте сначала найдем площадь основания треугольника ABC.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

• Длина стороны AB:

AB = √((6 - 1)² + (1 - 6)² + (1 - 1)²) = √(5² + (-5)²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

• Длина стороны AC:

AC = √((6 - 1)² + (1 - 1)² + (6 - 1)²) = √(5² + 0² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

• Длина стороны BC:

BC = √((1 - 1)² + (6 - 1)² + (6 - 1)²) = √(0² + 5² + 5²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

Таким образом, все стороны треугольника ABC равны, и он является равносторонним.

Шаг 2: Найдем площадь треугольника ABC.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

S = (√3 / 4) * a²,

где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае a = 5√2:

S = (√3 / 4) * (5√2)² = (√3 / 4) * 50 = (√3 * 50) / 4 = 12.5√3.

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды.

Высота h пирамиды - это расстояние от точки S до плоскости, содержащей треугольник ABC. Поскольку все точки A, B и C имеют координаты z = 1, плоскость, содержащая треугольник ABC, имеет уравнение z = 1.

Таким образом, высота h равна разности координат z точки S и плоскости:

h = 1 - 1 = 0.

Шаг 4: Подставим значения в формулу объема.

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * (12.5√3) * 0 = 0.

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды равен 0, так как все точки основания и вершина находятся на одной плоскости. Пирамида не имеет объема.