Как найти объем правильной треугольной пирамиды, если из основания на боковое ребро опущен перпендикуляр длиной 6, а двугранный угол между боковой гранью и основанием составляет 60 градусов?

Математика 11 класс Объем правильной треугольной пирамиды объем правильной треугольной пирамиды перпендикуляр к боковому ребру двугранный угол 60 градусов математика 11 класс Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу объема пирамиды и некоторые геометрические соотношения. Давайте разберем шаги решения подробно.

Шаг 1: Понимание структуры пирамиды

Правильная треугольная пирамида имеет треугольное основание и три боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками. Важно отметить, что в данной задаче основание является равносторонним треугольником.

Шаг 2: Определение высоты пирамиды

• Дано, что перпендикуляр из основания на боковое ребро имеет длину 6. Этот перпендикуляр является высотой боковой грани, которая образует двугранный угол с основанием.
• Двугранный угол между боковой гранью и основанием составляет 60 градусов. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти высоту пирамиды.

Обозначим высоту пирамиды как h. Мы знаем, что:

• tan(угол) = противоположная сторона / прилежащая сторона.
• В нашем случае, угол равен 60 градусам, а противоположная сторона — это высота боковой грани (6), а прилежащая сторона — это высота пирамиды (h).

Таким образом, мы можем записать уравнение:

tan(60) = 6 / h.

Так как tan(60) = √3, мы можем подставить это значение:

√3 = 6 / h.

Теперь выразим h:

h = 6 / √3 = 2√3.

Шаг 3: Найдем площадь основания

Площадь основания (S) равностороннего треугольника можно найти по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4, где a — длина стороны треугольника.

Однако, чтобы найти a, нужно использовать высоту. В равностороннем треугольнике высота (h) связана со стороной a следующим образом:

h = (a * √3) / 2.

Мы уже нашли h = 2√3, подставим это в уравнение:

2√3 = (a * √3) / 2.

Умножим обе стороны на 2:

4√3 = a * √3.

Делим обе стороны на √3:

a = 4.

Теперь можем найти площадь основания:

S = (4^2 * √3) / 4 = (16√3) / 4 = 4√3.

Шаг 4: Найдем объем пирамиды

Объем V правильной треугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (1/3) * S * h.

Теперь подставим найденные значения:

S = 4√3 и h = 2√3.

V = (1/3) * (4√3) * (2√3) = (1/3) * 8 * 3 = 8.

Ответ: Объем правильной треугольной пирамиды составляет 8 кубических единиц.