Чтобы вычислить площадь плоской области, ограниченной заданными линиями, нам нужно сначала определить, где эти линии пересекаются, а затем использовать интегрирование для нахождения площади.

Давайте рассмотрим заданные уравнения:

• Первая линия: x = y²
• Вторая линия: y² = 4 - x

Теперь преобразуем вторую линию, чтобы выразить x:

• y² = 4 - x => x = 4 - y²

Теперь у нас есть два уравнения:

• x = y²
• x = 4 - y²

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

1. y² = 4 - y²
2. 2y² = 4
3. y² = 2
4. y = ±√2

Теперь подставим найденные значения y обратно в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения x:

• Для y = √2: x = (√2)² = 2
• Для y = -√2: x = (-√2)² = 2

Таким образом, точки пересечения находятся в (2, √2) и (2, -√2).

Теперь, чтобы найти площадь области d, мы будем интегрировать разность верхней и нижней функции по y от -√2 до √2. Верхней функцией будет x = 4 - y², а нижней — x = y².

Площадь S можно выразить следующим образом:

S = ∫ (верхняя функция - нижняя функция) dy

Подставим наши функции:

S = ∫ (4 - y² - y²) dy от -√2 до √2

Это упрощается до:

S = ∫ (4 - 2y²) dy от -√2 до √2

Теперь вычислим интеграл:

1. Интеграл от 4: 4y
2. Интеграл от -2y²: (-2/3)y³

Таким образом, получаем:

S = [4y - (2/3)y³] от -√2 до √2

Подставим пределы интегрирования:

S = [4(√2) - (2/3)(√2)³] - [4(-√2) - (2/3)(-√2)³]

Теперь посчитаем каждую часть:

• Для y = √2: 4√2 - (2/3)(2√2) = 4√2 - (4/3)√2 = (12/3)√2 - (4/3)√2 = (8/3)√2
• Для y = -√2: 4(-√2) - (2/3)(-2√2) = -4√2 + (4/3)√2 = (-12/3)√2 + (4/3)√2 = (-8/3)√2

Теперь вычтем:

S = (8/3)√2 - (-8/3)√2 = (8/3)√2 + (8/3)√2 = (16/3)√2

Таким образом, площадь плоской области d, ограниченной заданными линиями, равна (16/3)√2.