Давайте поэтапно решим оба задания.

Задание 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. Сначала найдем точки пересечения кривых:

• y = x^2 - 2x + 2
• y = 2 + 6x - x^2

Чтобы найти точки пересечения, приравняем эти два уравнения:

x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2

Переносим все в одну сторону:

x^2 + x^2 - 2x - 6x + 2 - 2 = 0

2x^2 - 8x = 0

Факторизуем уравнение:

2x(x - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два корня:

• x = 0
• x = 4

2. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, используя интегралы. Площадь A будет равна:

A = ∫[0, 4] (верхняя кривая - нижняя кривая) dx

Определим, какая кривая находится выше:

• Для x = 1: y1 = 1^2 - 2*1 + 2 = 1
• y2 = 2 + 6*1 - 1^2 = 7

Значит, y2 выше y1 на интервале [0, 4].

Теперь вычисляем интеграл:

A = ∫[0, 4] ((2 + 6x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx

A = ∫[0, 4] (8x - 2x^2) dx

3. Вычислим интеграл:

A = [4x^2 - (2/3)x^3] от 0 до 4

A = (4*4^2 - (2/3)*4^3) - (4*0^2 - (2/3)*0^3)

A = (64 - (128/3)) = (192/3 - 128/3) = 64/3

Таким образом, площадь фигуры равна 64/3 квадратных единиц.

Задание 2: Найти объём тела, полученного вращением фигуры вокруг оси OX:

1. У нас есть кривая:

• y = 4 - x^2
• y = 0

2. Найдем точки пересечения кривой с осью OX:

4 - x^2 = 0

x^2 = 4

x = -2 и x = 2

3. Объем V тела вращения можно вычислить с помощью формулы:

V = π * ∫[a, b] (f(x))^2 dx

где f(x) = 4 - x^2, a = -2, b = 2.

4. Подставим в формулу:

V = π * ∫[-2, 2] (4 - x^2)^2 dx

5. Раскроем скобки:

(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4

6. Теперь вычислим интеграл:

V = π * ∫[-2, 2] (16 - 8x^2 + x^4) dx

V = π * [16x - (8/3)x^3 + (1/5)x^5] от -2 до 2

7. Подставим пределы:

V = π * [(16*2 - (8/3)*2^3 + (1/5)*2^5) - (16*(-2) - (8/3)*(-2)^3 + (1/5)*(-2)^5)]

8. Вычислим:

V = π * [(32 - (64/3) + (32/5)) - (-32 + (64/3) - (32/5))]

9. Упрощаем выражение и находим объем:

V = π * [64 - (128/3) + (64/5)]

10. После упрощения получаем объем тела вращения.

Таким образом, мы нашли площадь фигуры и объем тела вращения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!