Как можно вычислить производную для выражения Z = x²y - y²x?

Математика 11 класс Производные и дифференциальное исчисление вычисление производной производная Z производная x²y производная y²x математика 11 класс Новый

Для того чтобы вычислить производную выражения Z = x²y - y²x, необходимо уточнить, по какой переменной мы будем производить дифференцирование. Предположим, что мы хотим найти частные производные по переменным x и y. Рассмотрим оба случая.

1. Частная производная Z по x:

Чтобы найти частную производную Z по x, мы будем считать y константой. Применим правило дифференцирования для каждого члена:

1. Для первого члена x²y: производная x² по x равна 2x, поэтому производная этого члена будет 2xy.
2. Для второго члена -y²x: производная -y² по x равна 0 (так как y считается константой), а производная x по x равна 1. Таким образом, производная этого члена будет -y².

Теперь складываем результаты:

∂Z/∂x = 2xy - y².

2. Частная производная Z по y:

Теперь найдем частную производную Z по y, принимая x за константу:

1. Для первого члена x²y: производная y по y равна 1, поэтому производная этого члена будет x².
2. Для второго члена -y²x: производная -y² по y равна -2y, а x считается константой. Таким образом, производная этого члена будет -2yx.

Теперь складываем результаты:

∂Z/∂y = x² - 2yx.

Итог:

Мы нашли частные производные:

• ∂Z/∂x = 2xy - y²
• ∂Z/∂y = x² - 2yx

Эти выражения можно использовать для анализа поведения функции Z в зависимости от переменных x и y.