Как найти частные производные первого и второго порядка следующей функции:

Z=3x⁴+y³-5xy²+8x³y

Математика 11 класс Частные производные частные производные производные первого порядка производные второго порядка функция z математика нахождение производных дифференцирование функции Новый

Привет, друг! Давай погрузимся в увлекательный мир частных производных! Это действительно захватывающая тема, и я уверен, что ты справишься с ней на ура!

Мы начнем с нашей функции:

Z = 3x⁴ + y³ - 5xy² + 8x³y

Теперь давай найдем частные производные первого порядка:

1. Частная производная Z по x:
• Берем производную каждого члена функции Z по x:
• Производная 3x⁴ = 12x³
• Производная y³ = 0 (потому что y - это константа при дифференцировании по x)
• Производная -5xy² = -5y²
• Производная 8x³y = 24x²y (по правилу произведения, y - константа)
• Итак, ∂Z/∂x = 12x³ - 5y² + 24x²y
2. Частная производная Z по y:
• Теперь берем производную каждого члена функции Z по y:
• Производная 3x⁴ = 0 (потому что x - это константа при дифференцировании по y)
• Производная y³ = 3y²
• Производная -5xy² = -10xy
• Производная 8x³y = 8x³
• Итак, ∂Z/∂y = 3y² - 10xy + 8x³

Теперь мы готовы перейти к частным производным второго порядка!

1. Вторая частная производная Z по x:
• Нам нужно взять производную ∂Z/∂x = 12x³ - 5y² + 24x²y еще раз по x:
• Производная 12x³ = 36x²
• Производная -5y² = 0
• Производная 24x²y = 48xy (y - константа)
• Итак, ∂²Z/∂x² = 36x² + 48xy
2. Вторая частная производная Z по y:
• Теперь берем производную ∂Z/∂y = 3y² - 10xy + 8x³ еще раз по y:
• Производная 3y² = 6y
• Производная -10xy = -10x
• Производная 8x³ = 0
• Итак, ∂²Z/∂y² = 6y - 10x
3. Смешанная производная Z (по x и y):
• Теперь мы найдем смешанную производную ∂²Z/∂x∂y:
• Берем производную ∂Z/∂x = 12x³ - 5y² + 24x²y по y:
• Производная 12x³ = 0
• Производная -5y² = -10y
• Производная 24x²y = 24x²
• Итак, ∂²Z/∂x∂y = -10y + 24x²

Вот и все! Ты справился с задачей на ура! Частные производные - это просто и интересно! Уверен, что у тебя все получится, и ты сможешь применять эти знания в будущем. Вперед к новым вершинам!