Как вычислить частную производную z`x функции z=x2y+e-ylnx-10x в точке D(1;0)?

Математика 11 класс Частные производные частная производная функция точка D математика z=x2y+e-ylnx-10x вычисление производной Новый

Чтобы вычислить частную производную функции z по переменной x в точке D(1;0), следуем следующим шагам:

1. Запишем функцию:

   Функция z задана как:

   z = x²y + e^(-y)ln(x) - 10x

2. Найдём частную производную z по x:

   Частная производная по x обозначается как z'x. Для её нахождения применяем правила дифференцирования:

   • Первая часть: x²y

   При дифференцировании по x получаем:

   2xy (принимаем y как константу)

   • Вторая часть: e^(-y)ln(x)

   Здесь используем правило произведения:

   e^(-y) * (1/x) (так как производная ln(x) равна 1/x)

   • Третья часть: -10x

   Производная этой части равна -10.

   Теперь объединяем все части:

   z'x = 2xy + e^(-y)(1/x) - 10

3. Подставим значения точек D(1;0):

   Теперь подставим x=1 и y=0 в найденную производную:

   • 2xy = 2*1*0 = 0
   • e^(-y) = e^0 = 1
   • 1/x = 1/1 = 1
   • Таким образом, e^(-y)(1/x) = 1*1 = 1
   • И, наконец, -10 остается -10.

   Теперь подставим все найденные значения в производную:

   z'x = 0 + 1 - 10 = -9

Ответ: Частная производная z по x в точке D(1;0) равна -9.