Как найти частные производные z`x, z'y, z"xx, z"xy, z"yy функции z=f(x, y), если z=cos(4x^2 + ay + 2)?

Математика 11 класс Частные производные функций нескольких переменных частные производные z=f(x,y) cos(4x^2 + ay + 2) математика производные функции Новый

Чтобы найти частные производные функции z = f(x, y) = cos(4x^2 + ay + 2), мы будем следовать определенным шагам. Давайте разберем каждую из производных по порядку.

1. Найдем первую частную производную z по x (z'x):

Для этого используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала находим производную косинуса:

• Производная cos(u) равна -sin(u) * u', где u = 4x^2 + ay + 2.

Теперь находим u':

• u' = d(4x^2 + ay + 2)/dx = 8x (так как ay - это константа по отношению к x).

Теперь можем записать z'x:

• z'x = -sin(4x^2 + ay + 2) * 8x.

2. Найдем первую частную производную z по y (z'y):

Аналогично, используем правило дифференцирования:

• u' = d(4x^2 + ay + 2)/dy = a (так как 4x^2 и 2 - это константы по отношению к y).

Таким образом, z'y будет:

• z'y = -sin(4x^2 + ay + 2) * a.

3. Найдем вторую частную производную z по x (z"xx):

Теперь нам нужно продифференцировать z'x по x:

• z"x = d(z'x)/dx = d(-sin(4x^2 + ay + 2) * 8x)/dx.

Используем правило произведения:

• u = -sin(4x^2 + ay + 2), v = 8x.

Тогда:

• z"xx = u'v + uv' = (-cos(4x^2 + ay + 2) * 8x * 8x) + (-sin(4x^2 + ay + 2) * 8) = -64x^2 * cos(4x^2 + ay + 2) - 8sin(4x^2 + ay + 2).

4. Найдем смешанную вторую частную производную z (z"xy):

Теперь продифференцируем z'x по y:

• z"xy = d(z'x)/dy = d(-sin(4x^2 + ay + 2) * 8x)/dy.

Здесь мы также применяем правило произведения:

• u = -sin(4x^2 + ay + 2), v = 8x.

Тогда:

• z"xy = u'v + uv' = (-cos(4x^2 + ay + 2) * a * 8x) = -8ax * cos(4x^2 + ay + 2).

5. Найдем вторую частную производную z по y (z"yy):

Теперь продифференцируем z'y по y:

• z"yy = d(z'y)/dy = d(-sin(4x^2 + ay + 2) * a)/dy.

Здесь:

• u = -sin(4x^2 + ay + 2), v = a.

Таким образом:

• z"yy = u'v = (-cos(4x^2 + ay + 2) * a) * a = -a^2 * cos(4x^2 + ay + 2).

Итак, мы нашли все необходимые производные:

• z'x = -sin(4x^2 + ay + 2) * 8x,
• z'y = -sin(4x^2 + ay + 2) * a,
• z"xx = -64x^2 * cos(4x^2 + ay + 2) - 8sin(4x^2 + ay + 2),
• z"xy = -8ax * cos(4x^2 + ay + 2),
• z"yy = -a^2 * cos(4x^2 + ay + 2).